Lösen der komplexen Gleichung?
0=z^6 + z^2
7 Antworten
z⁶ + z² = 0 | z² ausklammern
z²(z⁴ + 1) = 0 | Fallunterscheidung
1. Fall: z² = 0
z₁ = 0
z₂ = 0 zusammenfallend
2. Fall: z⁴ + 1 = 0
z⁴ - i² = 0
(z² + i)(z² - i) = 0
z² + i = 0
z² = -i
z₃ = √(-i)
z₄ = -√(-i)
z² - i = 0
z² = i
z₅ = √i
z₆ = -√i
Damit sind alle 6 komplexen Lösungen beisammen.
Die komplexen Zahlen sind nullteilerfrei, also erhalten wir durch Ausklammern,
die erste (doppelte) Lösung
Übrig bleibt
also
und wir können wieder den Satz des Nullprodukts anwenden und erhalten
und damit die sechs (bzw. fünf verschiedenen) Lösungen
Hallo,
klammere z² aus:
z^2*(z^4+1)=0
Eine doppelte Nullstelle liegt bei z=0.
Die anderen vier Lösungen bekommst Du über die Gleichung z^4=-1 heraus.
Um komplexe Wurzeln zu ziehen, nutzt Du die trigonometrische Darstellung von z, nämlich z=r*(cos (phi)+i*sin (phi).
Dabei ist r der Abstand der komplexen Zahl zum Nullpunkt der komplexen Zahlenebene, während phi der Winkel des Zeigers vom Nullpunkt zur Zahl mit der reellen Achse darstellt, wobei der Winkel wie üblich gegen den Uhrzeigersinn gezählt wird. Ich rechne am liebsten mit der grad-Einstellung.
z^4=-1.
Die reelle Zahl -1 hat einen Abstand von 1 zum Nullpunkt.
Die vierte Wurzel der Zahl hat als Abstand die vierte Wurzel davon, was in diesem Fall auch 1 ist, denn die vierte Wurzel von 1 ist 1.
Daher: r=1.
Der Zeiger vom Nullpunkt zu -1 hat einen Winkel von 180° zur reellen Achse.
Der Zeiger zur ersten der vier Wurzeln hat daher einen Winkel von 180/4=45°.
Daher: phi=45°.
Also: beim Wurzelziehen von komplexen Zahlen entspricht der Abstand der Wurzeln der entsprechenden Wurzel vom Abstand des Radikanden.
Der Winkel der ersten Wurzel ist der Winkel des Radikanden geteilt durch den Grad der Wurzel.
Alle komplexen Wurzeln des Grades n liegen auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius r, wobei die erste Wurzel den Winkel phi hat, die anderen phi+k*360/n mit k=1,2,3...n, sie bilden also die Ecken eines gleichseitigen n-Ecks.
Mit r=1, phi=45° und n=4 bekommen wir also Lösungen für die vierte Wurzel aus -1:
z1=cos (45°)+i*sin (45°)=Wurzel (2)/2+i*Wurzel (2)/2
z2=cos (45°+90°)+i*sin (45°+90°)=-Wurzel (2)/2+i*Wurzel (2)/2
z3=cos (225°)+i*sin (225°)=-Wurzel (2)/2-i*Wurzel (2)/2
z4=cos (315°)+i*sin (315°)=Wurzel (2)/2-i*Wurzel (2)/2
Herzliche Grüße,
Willy
- 0=z^6 + z^2 (z=0 als eine Lösung ist klar)
- 0= (z -i*z^3)(z+i*z^3)
z mit z -i*z^3 = 0 ist eine Lösung, also
- z= i*z^3
- 1 = i*z^2
- z^2 = -i
- z = Wurzel(-i) oder z = -Wurzel(-i)
z mit z+i*z^3=0 eine andere:
- z= -i*z^3
- 1 = -i*z^2
- z^2 = i
- z = Wurzel(i) oder z = -Wurzel(i)
Sehe ich das falsch oder ist nicht z^6 + z^2 = z^2(z^4 + 1), womit wir die doppelten Nullstellen 0, i und -i hätten?
Komplexe Zahlen waren nie mein Fall, obwohl ich sogar Prüfungen in FT I und II abgelegt habe :-).
Ok, ich sehe zumindest das Polynom vierten Grades falsch.
z^4 + 1 hat laut
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm
die Nullstellen sqrt(2)/2 +/- i*sqrt(2)/2 und -sqrt(2)/2 +/- i*sqrt(2)/2 :-(.
Mein Irrtum ist übrigens
i^4 = i^2 * i^2 = -1*-1 = 1 und eben nicht -1 :-(