und 

sind beide irrational. Und die Summe?

Wenn ein Winkel z.B. 150 ° beträgt, ist der Sinus davon 0,5. Rückwärtsrechnung gibt aber 30 °, denn der Sinus von 30° ist auch 0,5. Diese Zweideutigkeit führt dazu, dass der Winkel statt 81,51° auch 180°-81,51°=98,49° sein kann, wie es hier angeblich der Fall ist. Die Skizze zeigt, dass der Winkel bei C 81,51° und bei C' 98,49° sein kann. Ohne weitere Angaben kann man nicht sagen, welches Ergebnis zutrifft. Es gibt 2 Lösungen!!!

Stell dir vor, du sollst die Breite eines Spaltes messen (er ist zwischen 2 mm und 3 mm breit). Mit der Schieblehre kommst du nicht dazwischen, das ist zu eng. Foto wäre möglich, gleichzeitig ein Lineal mitfotografieren, Bild vergrößern und mit Dreisatz rechnen.

Nun hast du aber einen Keil. Der ist z.B. 12 cm lang, wird gleichmäßig(!!) breiter von 0 bis 1,8 cm. Den schiebst du in den Spalt, bis er klemmt, und bringst dann dort eine Markierung an (Ende der gelben Zone).

Jetzt misst du die Entfernung von der Keilspitze bis zu dieser Markierung, das sind z.B. 1,6 cm. Nach dem Strahlensatz gilt nun: 1,8/12=h/1,6, wobei h die Höhe des rechten gelben Randes und damit die gesuchte Spaltbreite ist. Somit wäre

h=1,8/12*1,6=0,24 cm = 2,4 mm

Beim Keilausschnitt ist es ähnlich. Nur steckst du keinen Keil in einen Spalt, sondern der Keilausschnitt ist ein keilförmiger Spalt, in den du etwas anderes, z.B. eine Platte, bis zum Anschlag hineinschiebst und auf die selbe Weise die Dicke bestimmst.

Du gehst von A zu B, indem du von den B-Koordinaten die A-Koordinaten abziehst:

a) VektorAB=(2|2|2), entsprechend VektorBC=(2|2|-2). Beide sind kolinear, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen ist. Das ist hier wegen des letzten Minuszeichens nicht der Fall. (Ich habe hier die falsche Zeilenschreibweise benutzt, komme mit dem Formeleditor nicht klar.)

Die Vektoren (3|12|-21) und (-7|-28|49) sind kollinear, weil man den zweiten erhält, wenn man die Komponenten des ersten mit -7/3 multipliziert.

Zunächst ganz allgemein: Du hast eine beliebig geformte Grundfläche und irgendwo(!) höher einen Punkt, der die Spitze der folgenden Figur wird: Von dieser Spitze ziehst du ein Gummiband, das straff ist und immer gerade bleibt, aber seine Länge ändern kann, zu einem Randpunkt der Grundfläche. Von diesem Randpunkt aus fährst du einmal die gesamte Grundfläche ab, wobei das andere Ende des Gummibandes immer in der Spitze bleibt. Dabei fährt das gesamte Gummiband in der Luft über eine gedachte Fläche, und du stellst dir nun den Körper vor, der diese Spitze, diese Seitenfläche (=Mantelfläche) und diese Grundfläche hat. Bei einer Kreisfläche gibt das einen (schiefen?) Kegel, bei einem Rechteck eine (schiefe?) Pyramide usw.

Für alle diese Körper gild nun: Volumen=Grundfläche*Höhe/3. Dabei ist die Höhe immer der SENKRECHTE Abstand zur Grundfläche. Wenn die Spitze also nicht über der Grundfläche steht, sondern sie überragt, musst du die Grundflächenebene bis unter die Spitze verlängern und dann dort den Abstand nehmen.

Nun zu deinem Problem: Wenn du nur die Kantenlängen der Pyramide hast, aber nicht die Höhe über der Grundflächenebene, hast du aber die Möglichkeit, mit Hilfe des Lehrsatzes von Pythagoras die Höhe mit Hilfe von rechtwinkligen Dreiecken auszurechnen. Mache dir eine Skizze, zeichne alle bekannten Längen ein und suche bei der Höhe nach einem rechtwinkligen Dreieck (die Höhe bildet mit allen Linien auf der Grundflächenebene einen rechten Winkel). Evtl. musst du mit halben Kantenlängen arbeiten oder vorher (mit Pythagoras) die Länge einer Linie errechnen, die die Mittellinie einer Seitenfläche ist.

Solche Aufgaben lassen sich ohne x und y auch im Kopf berechnen, was zwar schwerer darzustellen ist, was du aber zur schnellen Probe gut nutzen kannst. Der folgende Text ist zwar sehr langatmig, die Überlegungen sind aber sehr einfach zu verstehen und zu behalten:

1. Schritt: Wenn die Differenz 51 beträgt, ist eine Zahl 51 größer als die andere. Du machst sie um 51 kleiner, jetzt sind beide Zahlen gleich groß.
2. Schritt: Wenn eine Zahl um 51 kleiner gemacht wurde, ist die Summe jetzt natürlich nicht mehr 35, sondern auch 51 weniger, also -16.
3. Schritt: Wenn zwei gleiche Zahlen zusammen -16 geben, hat jede davon den Wert -8. Die kleinere ist -8. Die andere war ursprünglich 51 größer, somit also 43.

Neues Beispiel: Die Summe zweier Zahlen ist 100, eine ist aber um 12 größer als die andere.

1. große Zahl um 12 verkürzen, Summe gibt 100-12=88
2. beide Zahlen geben 88 also eine 44.
3. zweite Zahl wieder um 12 vergrößern: 44+12=56.

also 44 und 56.

Hier nochmals eine Herleitung über die Kräfte. Dazu brauchst du die Höhe des Dreiecks. Mit Hilfe von Pythagoras erhältst du h^2+(a/2)^2=a^2 und daraus h=a*wurzel(3)/2.

Betrachte zunächst eine Ladung -q. Jede der beiden anderen übt dann die abstoßende Kraft F1=k*(-q)^2/a^2 auf die Erstgenannte aus. Beide Kräfte bilden einen 60°-Winkel miteinander. Vektoriell addiert hat die resultierende Kraft den Wert F=F1*wurzel(3). (Wenn man die gleichlangen Kraftpfeile, die 60 ° auseinandergehen, zunächst an den Spitzen verbindet, erhält man ein Dreieck mit der Höhe F1*wurzel(3)/2. Der resultierende Kraftpfeil ist dann doppelt so lang.)

Die Anziehende Kraft muss nun entgegengesetzt gleich groß sein. Die Ladung Q befindet sich im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und ist daher 2/3 h von der Ladung -q entfernt. Die auf -q ausgeübte Anziehungskraft ist somit k*qQ/(2/3 h)^2=kqQ/(a*wurzel(3)/3)=kqQwurzel(3)/a^2.

Gleichsetzen mit F1 führt auf Q=q/wurzel(3)=Q*wurzel(3)/3.

Wegen der Symmetrie sind dann die anderen Ladungen -q und damit das gesamte System im Gleichgewicht.

Die Aufgabe ist unklar gestellt: "Wirft er genau einen Sechser, so erhält er 1 Euro. "

Wenn er 1 € Einsatz macht, ist der erst mal weg. Wenn er dann 1 € gewinnt, heißt das

a) 1€ Einsatz weg, 1 € gewonnen, also insgesamt 0 € mehr als zu Anfang ODER

b) 1 € Einsatz weg, 2 € bekommen und somit 1 € mehr als zu Anfang?

Du solltest also hier 2 verschiedene Rechnungen machen, solange das nicht geklärt ist, und den Aufgabensteller auf die Ungenauigkeit hinweisen.

Die Gewinne heißen also entweder -1 | 1|2|7|12 oder -1|0|1|6|11.

Grundsätzlich gilt für beliebige Winkel - unabhängig von der Höhe der Rollen - , dass der Knotenpunkt, in dem die drei Seile zusammentreffen, ruht, sich dort also alle Kräfte ausgleichen. Außerdem können Seile immer nur in Seilrichtung ziehen.

1. F1 und F2 müssen vektoriell addiert F ergeben, weil F senkrecht nach unten zieht und durch eine genau so große, entgegengesetzt gleiche Kraft kompensiert werden muss. Die Summe der senkrechten Komponenten von F1 und F2 muss daher genau F sein.
2. Die waagerechten Komponenten von F1 und F2 müssen entgegengesetzt gleich groß sein, sonst würde sich der Knotenpunkt zu einer Seite hin bewegen.

Daraus ergibt sich:

F1 sin(alpha)=F2 sin(beta)

F1 cos(alpha)+F2 cos(beta) = F

Bei gleichen Winkeln vereinfacht sich das Ganze zu F1=F2 und

F1*2cos(alpha)=F bzw. F1=F/(2 cos(alpha)).

Bei 16 und 8 cm ist das rechte oder linke Teildreieck 8 cm hoch und 8 cm breit sowie rechtwinklig, also ist alpha = 45° und damit F1=F2=F*Wurzel(0,5).

Beachte, dass ich alpha und beta woanders hingezeichnet habe als du, was bei 45° zufällig keine Rolle spielt.

Korrektur zu meiner ersten Antwort: Die Seitenflächen sind gleichschenklig, nicht gleichseitig.

Du machst den Fehler, dass du vermjutlich irgendwelche Formeln auswendig lernst und dann nach den Zahlen suchst, die du dafür einsetzen kannst. Und wenn dann da nicht steht: hK = 3,2 cm, sondern dass die Pyramide 3,2 cm hoch ist, ist bei dir schon alles vorbei.

Eine Völlig falsche Einstellung zur Mathematik!!!

Taste dich von "außen nach innen" bzw. vom Groben zum Feinen an das Problem heran! Volumen der Pyramide: Ein Drittel Grundfläche mal Höhe. Das ist bei allen Pyramiden so, auch bei solchen mit kreisförmiger Grundfläche, die heißen dann nur anders, nämlich Kegel.

Jetzt schaust du in den Text. Die Höhe ist mit 3,2 cm angegeben. Sie muss aber nicht hK heißen, sondern kann auch a, b, x, P oder sonstwie heißen, und das findest du kann nicht in der Formelsammlung.

Die Grundfläche ist ein Dreieck. Der Flächeninhalt ist ein halb mal Grundlinie mal Höhe, wobei die Höhe senkrecht auf der Grundlinie stehen muss . (Du kannst jede der drei Seiten als Grundlinie nehmen, aber von den drei Höhen musst du diejenige nehmen, die senkrecht auf dieser Seite steht. Und wenn du nur eine Höhe kennst, musst du diejenige Seite nehmen, auf der sie senkrecht steht.) Hier ist das Dreieck gleichseitig, also alle Seiten 8,2 cm , und damit sind auch alle Höhen gleich lang, nämlich 7,1 cm.

Ich habe dir hier keine Formel genannt, aber alles, was du zur Berechnung brauchst. Und wenn du dir den Text merken kannst, brauchst du auch keine Formel. Der Text ist die Formel ohne Buchstaben.

Die Oberfläche ist die gesamte Außenhau der Pyramide, die Grundfläche gehört dazu (obwohl sie nicht "oben" ist). Geh davon aus, dass alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind, obwohl das nicht im Text steht (das muss auch nicht so sein, aber dann wäre dieser Teil nicht lösbar). Jetzt wieder vonm Groben zum Feinen: Aus welchen und wievielen Flächen besteht die Oberfläche? Eine hast du schon oben berechnet. Was ist mit den anderen?

Warum kannst du die Formel "Oberfläche = Grundfläche + 4*eine Seitenfläche" hier nicht anwenden?

Pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ... usw., aber nicht aufhören!

Du kannst ja mal mit dem Taschenrechner die ersten hundert Schritte ausrechnen. Dies ist die einfachste arithmetische Darstellung von pi, es gibt Verfahren, die komplizierter aussehen, aber schon nach wenigen Rechenschritten näher an pi herankommen. Die Zahl selber lässt sich nicht als Bruch oder durch Wurzeln darstellen, die Nachkommastellen hören nie auf und werden auch nicht periodisch. Wurzel aus 2 läßt sich mit dem Wurzelzeichen schreiben, genau so wie pi mit dem pi-Zeichen, aber wenn du Wurzel 2 als Kommazahl schreiben sollst, wirst du auch - wie bei pi - nie fertig, es wird auch nicht periodisch.

Der Haupteffekt des SWING-BY ist nicht die Umlen kung, sondern der "kostenlose" Geschwindigkeits- bzw. Energiegewinn.

Hier noch mal eine Vereinfachung: Wenn du einen idealen Flummi gegen eine Wand mit großer Masse wirfst, kommt er mit (fast) der selben Geschwindigkeit zurückgeflogen. Was geschieht, wenn diese Wand dem Flummi entgegenkommt (z.B. als Platte auf einem Güterwagen)? Wenn der Flummi mit 20 km/h auf die Wand zufliegt, die Wand ihm mit 100 km/h entgegenkommt, "sieht" die Wand ihn mit 120 km/h auf sich zukommen. Die Wand weiß aber nicht, dass sie sich bewegt, für sie (!) prallt der Flummi mit 120 km/h in Fahrtrichtung zurück, und wir sehen ihn dann mit 120 + 100 = 220 km/h zurückkommen.

Allgemein gilt für den optimalen Fall (180°-Umkehr):

v= Flummi/Satelliten-Geschwindigkeit vor der Begegnung, von uns aus gesehen

-w=Wand/Planeten-Geschwindigkeit

m=Flummi/Satelliten-Masse

M=Wand/Planeten-Masse, viel größer als m!

Aus v wird -(v+2w) für den Flummi/Satelliten, also Impulsänderung=-2m(v+w), für die Wand/den Planeten +2m(v+w) (abbremsend), Geschwindigkeitsänderung dafür 2(v+w)(m/M), letzte Klammer fast 0.

Energiezunahme aus unserer Sicht: Von 0,5 m v^2 auf 0,5 m (v+2w)^2= 0,5 m (v^2+4vw+4w^2)-0,5 m v^2 = 2m(vw+w^2)

Energieabnahme der Wand: 0,5Mw^2-0,5M(w-2(v+w)(m/M))^2=0,5Mw^2-0,5M(w^2-4w(v+w)(m/M)+4(v+w)^2(m/M)^2)

=2M(w(v+w)(m/M)+4(v+w)^2(m/M)^2)=ungefähr 2Mw(v+w)(m/M), da (m/M)^2 ganz winzig wird, = 2m(vw+w^2).

Das Ganze enthält 2 Vereinfachungen: 1. das 180°-Zurückprallen, 2. dass m/M ganz winzig ist. Sonst werden die Rechnungen viel komplizierter.

Ich kann a) weder deine Frage genau verstehen, noch b) verstehe ich die Antworten der anderen, weil ich nicht weiß, was du a) genau berechnen willlst, noch b) ob die Antworter mehr wissen, wenn sie mit Zahlen rechnen, oder ob das Beispiele sein sollen.

Hier mal ein Anwendungsbeispiel:

Du zeichnest eine 10 cm lange Linie nach rechts, knickst dort um 90 ° nach links ab (also nach oben), zeichnest nach dort eine 80 % so lange Linie nach oben, also 8 cm, drehst dich wieder nach links, zeichnest wieder eine 80 % vom letzten Wert lange Linie, also 6,4 cm lang, drehst dich wieder nach links, jetzt eine 51,2 cm lange Linie nach unten usw. Das ergibt eine Viereck-Spirale, bei der die Linien im weiteren Verlauf immer näher aneinander rücken.

a) Wie lang ist der gesamte Linienzug nach 5 Umläufen, also 20 Teilstrecken?

b) Wann war der Linienzug länger als 30 cm?

c) Zeige, dass der gesamte Linienzug nie länger also 50 cm werden kann.

Zu a) Du musst addieren: S40 = 10 + 8 + 6,4 + ...bis zum 20. Summanden = 10(1+0,8+0,64+0,521 + ...) = 10 (0,8^0 + 0,8^1 + 0,8^2 + ...0,8^19). Das sind 20 Glieder, da man mit ^0 anfängt. Anstatt nun lange auf dem Taschenrechner herumzuspielen, berechnest du nun mit Hilfe der Summenformel

10*(1-0,8^20)/(1-0,8)= 49,42354 cm.

Zu b) 10*(1-0,8^n)/(1-0,8)>30 führt auf 50*(1-0,8^n)>30 oder 1-0,8^n>0,6 oder 0,4>0,8^n oder log(0,4)>n*log(0,8) oder log(0,4)/log(0,8)<n (Achtung: das >-Zeichen dreht sich um, weil du durch den negativen Wert von log(0,8) teilst) oder n>4,1, also ab der 5. Linie.

Zu c) Wenn es unendlich viele Streckenzüge würden, würde 0,8^unendlich=0 werden, und die Gesamtstrecke wäre 10*(1-0)/(1-0,8)=50

Wenn du den Monat zu 30 Tagen berechnen kannst (das Jahr besser zu 365), kannst du so vorgehen:

Tage = Jahresdifferenz*365+Monatsdifferenz*30+Tagesdifferenz.

Bei den Differenzen musst du immer den Anfangswert vom Endwert abziehen, so dass die Zahlen auch nagativ sein können.

In deinem Beispiel: (2019-2018)*365+(1-6)*30+(30-30)=215

Die Antwort von Poseidon42 ist die einfachste und exakteste. Ich schreibe hier noch mal eine einfachere, aber nicht ganz so zufriedenstellende auf:

Denke dir einen Kreis mit eingezeichnetem Radius r nach rechts. Den Radius ergänzt du nun zu einem Quadrat mit r als Kantenlänge und zeichnest es nach rechts oben ein. Es bedeckt das Kreisviertel rechts oben (von 12 bis 3 Uhr) und ragt rechts oben noch über den Reis hinaus. Jetzt zeichnest du noch nach rechts unten (3 bis 6 Uhr) ein Quadrat unter das erste, dann noch zwei weitere auf die linke Seite (6 bis 9 Uhr und 9 bis 12 Uhr).

Du siehst nun: Die 4 Quadrate bedecken den ganzen Kreis und ragen an den Ecken noch darüber hinaus. Sie haben jeweils den Flächeninhalt r*r, zusammen also den Flächeninhalt 4*r*r. Die Kreisfläche ist aber kleiner, man muss die Zahl 4 also in eine kleinere Zahl abändern, schätzungsweise 75 % davon, also etwa in 3. Da alle solchen Kreisbilder ähnlich sind, egal, ob der Kreis klein oder groß ist, muss dieses aber dieselbe Zahl sein. Und das ist dann die Zahl Pi = 3,14159256... Warum es gerade diese Zahl ist, kann ich dir so nicht erklären, aber du kannst jetzt verstehen, warum es x*r*r heißen muss und nicht z.B. nur x*r oder x*r*r*r oder r+r*r.

Nimm mal folgendes einfaches Beispiel :

0,101001000100001000001000000100000001... immer eine 0 mehr zwischen den Einsen. Wenn du nun an irgendeiner Stelle einen Abschnitt aussuchst, findest du zwischen den letzten beiden Einsen sagen wir mal (als Beispiel) 423 Nullen. Rechts davon findest du aber nur noch Abschnitte, die alle mehr als 423 Nullen zwischen den Einsen haben. Also kann sich dieser Abschnitt nicht wiederholen. Und das gilt auch für beliebige andere Abschnitte. Die obige Zahl wird also nie periodisch, und so ist es auch mit Pi.

Es gibt Federn, die bei der Herstellung so "verdrillt" wurden, dass sie auf Zug nicht sofort reagieren, sondern erst ab einer gewissen Spannung, und dann auch nur auf den Zusatzwert. Sie würden sich beim Unterschreiten dieser "Startspannung" am liebsten noch ganz normal weiter zusammenziehen, aber ihre Windungen stoßen schon aneinander, und das geht deshalb nicht.

Wenn eine solche Feder gemeint ist: Bis 5 N rührt sich die Feder nicht, bei den nächsten 3 N dann so, dass 7 N ein cm ausdehen würden. Die Feder wird somit 3/7 cm weit ausgezogen.

In einem Parallelogramm liegt der Diagnonalenschnittpunkt genau in der Mitte einer (bzw. beider) Diagonalen, also genau in der Mitte zweier gegenüberliegender Eckpunkte, entweder A und C oder B und D. Diesen Mittelpunkt erhätst du am einfachsten, wenn du von A und C den Mittelwert der x-Koordinaten bildest (=x-Wert) und den Mittelwert der y-Koordinaten (=y-Wert). zur Kontrolle machst du das dann auch noch mit B und D, es muss das selbe herauskommen (das ist dann auch schon der Test dafür, dass es sich um ein Parallelogramm handelt!)

Beispiel: A(3|3), B(9|5), C(7|9), D(1|7),

Dann ist S((3+7):2|(3+9):2)=S(5|6) mit Hilfe von A und C berechnet oder S(9+1):2|(5+7):2)=S(5|6) mit Hilfe von B und D berechnet.

Miss den Winkel zwischen Bohrer und Wand. Bei 90° hast du natürlich keine Abweichung.

Nach dem Bohren misst du mit Hilfe des Bohrers nach, wie tief das Bohrloch geworden ist. Diese Länge bezeichne ich mal mit L.

Jetzt tippst du in deinen Taschenrechner L*cos(Winkel) ein. (Tastenfolge bei 12 cm und 60° wäre: "12 * cos 60 ="  oder - je nach Taschenrechner - "12 * 60 cos =" , wenn in diesem Beispiel 6 herauskommt, funktioniert es richtig.).

Das ist dann die seitliche Abweichung an der Bohrerspitze.

Wenn du jetzt noch auf die selbe Weise L*sin(Winkel) berechnest (im obigen Beispiel kommt ca. 10,4 cm heraus), weißt du, wie weit die Spitze von deiner Wandseite entfernt ist (bei 10 cm Mauerdicke müsstest du durch sein, bei 11 cm noch nicht).

Beachte, dass bei der obigen Rechnung der Winkel zu Wand gemessen wird, nicht die Abweichung von der "geraden" Richtung senkrecht in die Wand.