Punktladungen im Dreieck im Gleichgewicht?
Ich habe folgende Aufgabenstellung:
Drei Punktladungen mit Ladung −q befinden sich in den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks, mit Seitenlänge a. Eine Vierte Ladung +Q, befindet sich in der Mitte des Dreiecks. Wie groß muss Q sein, damit sich die Anordnung im Kräftegleichgewicht befindet?
Meine Frage ist nun: Normalerweise war es so, dass wir die Kräfte bezogen auf einen Punkt berechnet haben, zum Beispiel, dass sich die Kräfte auf den Punkt A auslöschen. Was genau ist hier nun mit Gleichgewicht gemeint? Muss ich also das Coulombsche Gesetz bezogen auf alle Punkte anwenden?
3 Antworten
Hier nochmals eine Herleitung über die Kräfte. Dazu brauchst du die Höhe des Dreiecks. Mit Hilfe von Pythagoras erhältst du h^2+(a/2)^2=a^2 und daraus h=a*wurzel(3)/2.
Betrachte zunächst eine Ladung -q. Jede der beiden anderen übt dann die abstoßende Kraft F1=k*(-q)^2/a^2 auf die Erstgenannte aus. Beide Kräfte bilden einen 60°-Winkel miteinander. Vektoriell addiert hat die resultierende Kraft den Wert F=F1*wurzel(3). (Wenn man die gleichlangen Kraftpfeile, die 60 ° auseinandergehen, zunächst an den Spitzen verbindet, erhält man ein Dreieck mit der Höhe F1*wurzel(3)/2. Der resultierende Kraftpfeil ist dann doppelt so lang.)
Die Anziehende Kraft muss nun entgegengesetzt gleich groß sein. Die Ladung Q befindet sich im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und ist daher 2/3 h von der Ladung -q entfernt. Die auf -q ausgeübte Anziehungskraft ist somit k*qQ/(2/3 h)^2=kqQ/(a*wurzel(3)/3)=kqQwurzel(3)/a^2.
Gleichsetzen mit F1 führt auf Q=q/wurzel(3)=Q*wurzel(3)/3.
Wegen der Symmetrie sind dann die anderen Ladungen -q und damit das gesamte System im Gleichgewicht.
Die drei äußeren Ladungen haben untereinander die (unwichtige Faktoren setze ich hier mal 1) Energie
Die mittlere Ladung mit den drei anderen hat die Energie
Die Gesamtenergie ist somit
Kräftefrei ist das System, wenn die potenzielle Energie nicht vom Abstand a abhängt, also muss die Ableitung dU/da=0 sein. Das führt auf
Wenn das Null werden soll, muss sein:
Stabil ist das Gleichgewicht natürlichnicht, es handelt sich bloß um einen Sattelpunkt.
Wie auch immer - stabil kann dieses Gleichgewicht sicher nicht sein.