Ich verstehe folgende Matheaufgabe nicht ganz (Vektoren, Analytische Geometrie)
Die Aufgabe lautet:
Bezogen auf ein lokales Koordinatensystem kann die Flugroute eines Sportflugzeugs nach dem Start näherungsweise durch die Gerade g: $ \overrightarrow{x} $ = $ \vektor{420 \ -630 \ 120} $ + r * $ \vektor{40 \ 50 \ 11} $ angegeben werden (Angaben in m). In der Nähe des Flugplatzes befindet sich ein Windrad. Der Fußpunkt des Windrads befindet sich ein Windrad. Der Fußpunkts des Windrads befindet sich im Punkt P (1380|570|0), der höchste Punkt der Rotorblätter liegt 170 m über dem Boden. Überprüfen Sie, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs genau über das Windrad hinweg fliegt. Wenn ja, in welchem Abstand überfliegt es das Windrad?
Ich habe erstmal nach r aufgelöst, um zu ermitteln ob der Punkt P auf der Geraden liegt (zwischen Stütz- und Richtungsvektor), was nicht der Fall ist (24, 24, ~10,91). So, weiß ich nicht, wie ich weiter vorangehen soll.
Könnt ihr mir bitte helfen?
3 Antworten
Erst mal zu Deinem bisherigen Vorgehen:
Du schreibst, Du hast nach r aufgelöst. Welche Gleichung denn?
Und warum sollte P überhaupt auf der Geraden, d.h. der Flugroute, liegen? Dann würde sich das Flugzeug ja just im Fußpunkt des Windrades in den Boden bohren. Das scheint mir doch eher unerwünscht zu sein.
Gefragt ist, ob der Flieger genau über das Windrad hinwegfliegt. Wann ist das der Fall?
Offensichtlich liegt Dein Punkt (24, 24, ~10,91) völlig woanders - und dann noch unter dem Erdboden.
Helfen Dir diese Fragen/Hinweise weiter?
Noch nicht ganz, aber schon auf dem richtigen Weg!
Da der Flieger ja (hoffentlich) über das Windrad fliegt, sollte die 3. Koordinate größer als 170 sein. Nur wie groß genau, weißt Du noch nicht. Das sollst Du ja nebenbei mit berechnen. Also musst Du die 3. Koordinate erst mal mit einer Variablen (z.B. h) belegen. Da Du aber genügend Gleichungen bekommst, kannst Du h gleichzeitig mit r berechnen.
Okay, ich fasse meinen zweiten Versuch mal zusammen:
Ich möchte wissen, wie hoch das Flugzeug zu dem Zeitpunkt fliegt, an dem es die Koordinaten (1380|570|?) erreicht, dementsprechend löse ich mit den ersten beiden Koordinaten
1380 = 420 + 40 r 570 = - 630 + 50 r
nach r auf und und erhalte die Zahl 24, die ich nun für das r in 120 + 11 r = ? einsetze und erhalte dann 384. Heißt das, das Flugzeug fliegt genau 384 Meter über dem Fußpunkt des Windrades?
Für r = 24 ist das Flugzeug genau über dem Windrad, weil es dann gleichen x- und y-Wert hat wie P. Sein z-Wert ist dann 384, also hoch genug über 170.
Das Flugzeug fliegt genau dann exakt über das Windrad, wenn die Projektion seine Route in die Grundebene des Koordinatensystems (= xy- Ebene bzw. x1x2-Ebene, je nach Bezeichnung der Koordinaten) den Fußpunkt des Windrads enthält.
Vorstellung: In einem einem Sonnenlicht, das genau senkrecht von oben ( = aus dem Unendlichen der z- (bzw. x3-)Achse) auf die Bahn des Flugzeugs fällt, lässt diese Bahn einen Schatten in der Grundebene, der ebenfalls durch eine Gerade beschrieben wird. Genau dann, wenn das Flugzeug genau über das Windrad hinwegfliegt, liegt der Fußpunkt des Windrads in diesem Schatten.
Mit der einfach zu erstellenden Gleichung des Schattens geht die Aufgabe einfacher.
Ich bekomme auch eine Zahl "24" heraus; allerdings ist dies keine Koordinate. Nach meiner Rechnung fliegt das Flugzeug genau über das Windrad hinweg. Die Zahl "24" ist auch hilfreich, um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen.
Okay, ich fasse meinen zweiten Versuch mal zusammen:
Ich möchte wissen, wie hoch das Flugzeug zu dem Zeitpunkt fliegt, an dem es die Koordinaten (1380|570|?) erreicht, dementsprechend löse ich mit den ersten beiden Koordinaten
1380 = 420 + 40 r 570 = - 630 + 50 r
nach r auf und und erhalte die Zahl 24, die ich nun für das r in 120 + 11 r = ? einsetze und erhalte dann 384. Heißt das, das Flugzeug fliegt genau 384 Meter über dem Fußpunkt des Windrades?
Was bedeutet denn, dass du zweimal die Zahl 24 enthältst?
Ansonsten bist du auf dem richtigen Weg. Gefragt war aber nicht, wie weit das Flugzeug vom Fußpunkt des Windrades entfernt ist, sondern?
Die 24 bedeutet, dass ich gewiss die Koordinaten x = 1380 und y = 570 "erreiche".
Es wurde gefragt, in welchem Abstand ich über dem Windrad fliege, demnach 214 Meter, da 170+214 =384 sind. Korrekt?
Ich hätte formuliert: Das bedeutet, dass für r = 24 der F.d.W. in der senkrechen Projektion der Flugbahn auf die Grundebene liegt.
Oder, vielleicht mehr in deiner Sprechweise: ..., dass es einen Punkt der Flugbahn gibt, dessen x- und y-Koordinate mit denjenigen des F.d.W. übereinstimmen.
Der Rest ist m.E. in Ordnung.
Danke vielmals, sowohl für die eloquente als auch für die durchschnittliche Formulierungsweise! =D
Erläuterst du mir ganz kurz, wofür F.d.W. steht?
Danke erstmal für die Antwort.
Jetzt wo du es sagst, fällt mir doch auf, dass das Quatsch war, was ich geschrieben habe... Also sollte ich für 0 die 170 benutzen?