Weiß jemand die Antwort - Mathe Abituraufgabe?
Aufgabe 2.2: Bergwerk
In einem Bergwerk befindet sich ein Tunnel, der geradlinig durch die Punkte A(73 | −16 | −24) und
B(7 |17 | −2) zum Ausgang R verläuft.VomPunkt S(45|10|0)
werden geradlinig Stollen gegraben, die auf den Tunnel treffen.
Die Erdoberfläche befindet sich in der x-y-Ebene, 1 LE = 10 m .
a) Bestimmen Sie die Richtung, in die von S aus gegraben werden muss, damit ein Stollen den Punkt A trifft. Berechnen Sie die Länge des Stollens und die Größe des Winkels, in dem der Stollen auf den Tunnel trifft.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes R, an dem der Tunnel an der Erdoberfläche beginnt.
b) Ein zweiter Stollen verläuft vom Punkt S in Richtung u = (1| t | -4)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes P, in dem dieser Stollen auf den Tunnel trifft. Geben Sie den vollständigen Vektor an.
c) Vom Punkt S aus soll der kürzeste Stollen gegraben werden, der zum Tunnel führt. Bestimmen Sie die Richtung, in welche gegraben werden muss, und den Punkt K, in dem der Stollen auf den Tunnel trifft.
d) In 140 m Entfernung vom Punkt B auf der Stecke AB soll ein zur Erdoberfläche senkrechter Notausstieg enden.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem die Bohrung an der Erdoberfläche beginnen muss.
1 Antwort
Da hier nach über 30 Minuten keiner 'anbeißt', will ich es mal versuchen, obwohl das Thema mein schlechtestes im Mathe-Abi war.
a) Richtung: diese kann durch den Vector S->A angegeben werden. Er berechnet sich durch A-S, also (73|−16|−24) - (45|10|0) = (28|-26|-24)
Die Länge ist durch Wurzel(dx² + dy² + dz²) gegeben. Wurzel(28² + 26² + 24²) = Wurzel(2036) = 45,122
Winkel: Das konnte ich im Abi auch nicht und habe das über die 3 Längen des Dreiecks ABS und dem Cosinussatz gemacht. Kommentar: nicht elegant, aber richtig.
b) A + λ(B-A) = S + µ(1|t|-4). Da sind 3 Gleichungen (x, y und z) mit 2 (λ und µ) Unbekannten. Wenn das lösbar ist, dann hast du die Lösung, sonst treffen sich die beiden nicht.
c) und d) kann ich nicht mehr.
Wie gesagt, ist 3D-Geometrie nicht meine Sache in Mathe.
Gut dass du nachfragst. Dann ist das ein Lineares Gleichungssystem mit 3 Unbekannten. Kannst du t eindeutig bestimmen. Vermute mal, so wie die Aufgabe gestellt ist, dass das eindeutig ist.
Habe selbst nicht gerechnet.
Super. Vielen Dank ! Das war sehr hilfreich. Doch noch eine Frage : Wenn ich bei b) die beiden Parameter herausbekommen habe (das Gleichungssystem erfolgreich gelöst habe), wie bekomme ich den Parameter t in dem angegeben Richtungsvektor heraus ?