woran erkennt man ob ein graph streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist?(sms/smf)
Zb. jetzt für die monotonietabelle und ohne einen graphen zu haben sondern nur anhand er 1. ableitung und der ausgangsfunktion und den 0 stellen der 1. ableitung.
3 Antworten
Existiert die 1. Ableitung und ist sie im untersuchten Intervall stets >0, so ist Funktion streng monoton steigend. Ist sie stets <0, so ist die Funktion streng monoton steigend.
Mach dir vielleicht erstmal klar was die Ableitung ist, nämlich die Steigung in einem Punkt. Damit sind die Nullstellen der Ableitung der Punkte der Funktion an denen die Steigung der Funktion 0 ist. Nun zum streng monoton. Streng monoton steigend heißt das in einem Intervall jeder x Wert der größer als ein anderer ist auch in der Funktion einen größeren y-Wert ergibt. Wenn du dir das an einem Graphen veranschaulichen willst würde das bedeuten, dass der Graph je weiter er rechts ist höher ist, also steigt. Monoton heißt in diesem Kontext, dass er nicht zwischendrin einmal fallen darf und streng bedeutet, dass er auch nicht gleich bleiben darf (wagerechte linie im graphen) sondern in einem "strengen" Sinne ansteigt.
Daraus resultiert für deine Beobachtung das du nur die Intervalle zwischen den Nullstellen der Ableitung betrachten musst. Das folgt daraus: Wenn ich zwei Nullstellen der Ableitung, z.B. 2 und 3 habe und sicher bin das keine weitere Nullstelle dazwischen liegt, dann weiß ich das die Funktion zwischen 2 und 3 entweder komplett positiv oder komplett negativ für alle Werte sein muss (das gilt eigentlich nur bei stetig differenzierbaren Funktionen 100%, aber ich denke das braucht euch nicht zu interessieren). Wenn eine Ableitung auf einem Intervall aber komplett positiv ist, heißt das, dass die Steigung der Ausgangsfunktion komplett positiv ist und somit steigt sie kontinuierlich, ist also streng monoton steigend. Wenn die Ableitung negativ ist, auf so einem Intervall, folgt die Ausgangsfunktion ist auf dem Intervall streng monoton fallend.
Du musst also als REsultat dieser Überlegungen die Intervalle zwischen den Nullstellen betrachten und schauen ob dort die Ableitung kleiner 0 oder größer Null ist und damit kann du dann schauen ob deine Funktion streng monoton steigt ( größer 0) oder streng monoton fällt (kleiner Null).
erste ableitung positiv => steigend
negativ => fallend
wenn die erste ableitung nicht NUR positiv oder negativ ist, ist der graph nicht streng monoton steigend/fallend
ganz easy
sind jetzt die nullstellen der ersten ableitung gemeint?