Wieso ist der Grenzwert zu an 0?

$an\ =\ \frac{2^n+4^x}{4^x+12^{^x}}$ ich kürze 1^n raus und erhalte dann 3/8, aber in einem graph wäre der grenzwert 0. Wie kann das sein?

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[evtldocha]

Kann es sein, dass Du x und n verwechselt hast, denn sonst geht da nichts gegen 0?

[Schuleistmord]

Jaa, statt x bitte n!

Answer 1

[mihisu]

Entsprechend deiner Antwort auf eine Nachfrage gehe ich von n statt x aus. Also...

${a}_{n}=\frac{{2}^{n}+{4}^{n}}{{4}^{n}+{12}^{n}}$

Was du mit „kürze 1^n raus“ meinst, erschließt sich mit nicht. 1^n ist schließlich einfach gleich 1. Und mit 1 zu kürzen ändert nichst.

Ich würde mit 12^n kürzen. Relativ ausführlich aufgeschrieben also...

$a_{n}=\frac{2^n + 4^n}{4^n+{12}^n}$

$=\frac{\left(12\cdot \frac{2}{12}\right)^n + \left(12\cdot \frac{4}{12}\right)^n}{\left(12\cdot \frac{4}{12}\right)^n+12^n}$

$=\frac{{12}^n\cdot \left(\frac{2}{12}\right)^n + {12}^n\cdot \left(\frac{4}{12}\right)^n}{{12}^n\cdot \left(\frac{4}{12}\right)^n+{12}^n\cdot 1}$

$=\frac{{12}^n\cdot \left(\left(\frac{2}{12}\right)^n + \left(\frac{4}{12}\right)^n\right)}{{12}^n\cdot \left(\left(\frac{4}{12}\right)^n+1\right)}$

$=\frac{\left(\frac{2}{12}\right)^n + \left(\frac{4}{12}\right)^n}{\left(\frac{4}{12}\right)^n+1}$

Für |q| < 1 konvergiert q^n gegen 0 (für n gegen unendlich). Dementsprechend konvergiert (2/12)^n und (4/12)^n jeweils gegen 0 (für n gegen unendlich). Damit erhält man dann...

$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\overbrace{\left(\frac{2}{12}\right)^{n}}^{\to 0}+\overbrace{\left(\frac{4}{12}\right)^{n}}^{\to 0}}{\underbrace{\left(\frac{4}{12}\right)^{n}}_{\to 0}+1}=\frac{0+0}{0+1}=\frac{0}{1}=0$

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[Schuleistmord]

wow, danke

Answer 2

[TBDRM]

(2ⁿ + 4ⁿ) / (4ⁿ + 12ⁿ)

Nun kannst du 4ⁿ kürzen und erhälst

(0,5ⁿ + 1ⁿ) / (1ⁿ + 3ⁿ)

= (0,5ⁿ + 1) / (3ⁿ + 1)

Du siehst nun, dass der Zähler gegen 1 konvergiert, der Nenner aber bestimmt diviergiert.

Insgesamt konvergiert der Ausdruck also gegen 0.

Das wird deutlicher durch die Ungleichungskette

0 ≤ (0,5ⁿ + 1) / (3ⁿ + 1) ≤ 2 / (3ⁿ + 1) —> 0

Wobei ist am Ende n gegen Unendlich gegangen lassen habe.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

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[Schuleistmord]

1^n(2+4), geht das nicht? und dann noch das selbe mit dem nenner?

[TBDRM]

@Schuleistmord

Nein. Es gilt die Rechenregel (a•b)ⁿ = aⁿ•bⁿ.

Du erhieltest also

2ⁿ + 4ⁿ = (1•2)ⁿ + (1•4)ⁿ = 1ⁿ•2ⁿ + 1ⁿ•4ⁿ = 1ⁿ•(2ⁿ + 4ⁿ) = 2ⁿ + 4ⁿ

was dich nicht weiterbringt.

Answer 3

[evtldocha]

Ausklammern:

$\frac{2^n+4^n}{4^n+12^n}=\frac{4^n\left(\frac{2^n}{4^n}+1\right)}{4^n\cdot\left(1+\frac{12^n}{4^n}\right)}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n+1}{1+3^n}$

Dann Zähler gegen 1 und Nenner gegen unendlich.