Wie viele Stellen hat die Zahl?
Hey Leute, ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten aber echt 0 plan oder einen Ansatz dieses Problem zu lösen.
Die Aufgabe: Wie viele Ziffern hat die zahl 70 x 4^8 x 125^5? I x steht für Multiplikation
Gibt es da einen simplen Trick? Natürlich ohne TR!
Vielen Dank schonmal
4 Antworten
Ja, sogar einen sehr simplen.
Für die Stellenanzahl s(n) einer beliebigen Zahl n gilt:
Warum ist das so? Schauen wir uns zunächst nur Zehnerpotenzen an.
Es scheint also so, dass die Stellenanzahl immer eines mehr ist als der Exponent der Zehnerpotenz. Um bei einer gegebenen Zehnerpotenz z auf den Exponenten n zu kommen, nutzen wir den Logarithmus:
Das ist genau eins weniger als die Stellenanzahl. Also gilt für Zehnerpotenzen z:
Wie geht das nun, wenn wir nicht zwingend nur Zehnerpotenzen betrachten, sondern den Blick auf alle (natürlichen) Zahlen erweitern wollen? Dann ist der Zehnerlogarithmus nicht mehr zwingend eine ganze Zahl, die Stellenanzahl sollte aber eine sein.
Jede Zahl liegt zwischen zwei bestimmten Zehnerpotenzen. So liegt die 532 zwischen 100 und 1.000, die 12 zwischen 1 und 10 oder die 23.553 zwischen 10.000 und 100.000.
Es gilt für jede Zahl z:
Gleichermaßen gilt nach Anwendung des Zehnerlogarithmus:
Überlegen wir uns die Formel anhand der dreistelligen Zahl 532:
Es scheint, dass die Anzahl der Stellen immer gleich dem Exponenten der darüberliegenden Zehnerpotenz ist. Und so ist es auch. Zum Beispiel: Für jede Zahl a zwischen 10² = 100 (inklusiv) und 10³ = 1.000 (exklusiv) gilt (formal, weil jeder Logarithmus streng monoton steigend ist):
Daraus folgt auch:
Ebenso haben alle Zahlen in diesem Bereich (von 100 bis 999) drei Stellen (das gilt auch nur für diese Zahlen), also genau eins mehr als der abgerundete Zehnerlogarithmus dieser Zahlen. Und damit kommen wir auf die schon oben gegebene Formel
für die Stellenanzahl s(n) einer beliebigen Zahl n.
Betrachte nun die Logarithmusgesetze und die Stellenanzahl der gegebenen Zahl lässt sich ganz einfach berechnen. ;-)
LG
Ja , der Trick , von ralphdieter durchgeführt , besteht darin, nachzuschauen, ob in der Zahl 100 oder 1000 "versteckt ist".
Zerlegt man 1000 in seine Primfaktoren , erhält man
1000 = 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 2^5
macht man das komplett mit deinem Produkt
70 x 4^8 x 125^5
erhält man
2 * 5 * 7 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * (5^3=125)^5 =
2 * 2 * 5 * 7 * (2^3)^5 * (5^3)^5 =
2 * 2 * 5 * 7 * (2^3 * 5^3)^5 = 140 * 1000^5
= 70 * 2^16 * 125^5
= 70 * 2*2^15 * 125^5
= 70 * 2 * 8^5*125^5
= 140 * 1000^5
macht also "140" gefolgt von 15 weiteren Nullen.
Sorry, aber es ist nicht eindeutig zu erkennen, welche Zahl mit „704^8125^5“ gemeint ist. Ist damit 704^(8125^5) gemeint, oder (704^8125)^5, oder etwas anderes? Insbesondere, da eine „8“ bei deiner Frage kursiv dargestellt ist, vermute ich, dass da nach dem Reinkopieren der Zahl in deine Frage etwas nicht richtig dargestellt wird, worauf du nicht geachtet hast.
Die Anzahl der Ziffern im Dezimalsystem kann man mit Hilfe des Logarithmus zur Basis 10 berechnen. Eine natürliche Zahl x hat
floor(log₁₀(x)) + 1
Ziffern im Dezimalsystem. (Dabei wird mit „floor“ zur nächsten ganzen Zahl abgerundet.)
Für die Berechnung können dann unter anderem die folgenden Rechenregeln für den Logarithmus hilfreich sein:
log₁₀(a ⋅ b) = log₁₀(a) + log₁₀(b)
log₁₀(aⁿ) = n ⋅ log₁₀(a)
Hmm, also ganz ohne Taschenrechner oder Tabellen für den Logarithmus wird es schwierig.
Mit Taschenrechner würde ich den Taschenrechner einfach
log₁₀(70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵) ≈ 17,146
rechnen lassen, was dan aufgerundet 18 ergibt. (Bzw. auch abgerundet und dann 1 dazuaddiert erhält man 18. Das mit Abrunden und 1 dazuaddieren, statt Aufrunden, wird eigentlich nur deshalb benötigt, damit das auch für Zehnerpotenzen richtig ist. In den meisten Fällen kann man auch einfach aufrunden, statt abzurunden und 1 dazuzuaddieren.)
Dementsprechend hat die Zahl 70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵ im Dezimalsystem dargestellt 18 Ziffern.
Es ist übrigens
70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵ = 140000000000000000
da kannst du auch zur Probe nochmal nachzählen.
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Ohne Taschenrechner wird es schon etwas schwieriger. Man könnte rechnen...
log₁₀(70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵)
= log₁₀(7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ (2²)⁸ ⋅ (5³)⁵)
= log₁₀(7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2¹⁶ ⋅ 5¹⁵)
= log₁₀(7 ⋅ 2¹⁷ ⋅ 5¹⁶)
= log₁₀(7) + log₁₀(2¹⁷) + log₁₀(5¹⁶)
= log₁₀(7) + 17 ⋅ log₁₀(2) + 16 ⋅ log₁₀(5)
Nur wird es dann ohne Taschenrechner problematisch, die Logarithmen von 7 bzw. 2 bzw. 5 auszuwerten.
Man könnte sagen, dass 7, 2, 5 jeweils eine Ziffer haben, also der Logarithmus jeweils zwischen 0 und 1 liegt. Diese Abschätzung ist aber relativ grob, da man so die Anzahl der Ziffern dann nur auf einen Bereich zwischen 0 und 34 kommt.
Eine etwas bessere Abschätzung wäre evtl.
log₁₀(70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵)
= log₁₀(70) + 8 ⋅ log₁₀(4) + 5 ⋅ log₁₀(125)
mit 1 < log₁₀(70) < 2 und 0 < log₁₀(4) < 1 und 2 < log₁₀(125) < 3, so dass man dann die Anzahl der Ziffern auf einen Bereich zwischen 11 und 25 einschränken kann.
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Wenn man die Anzahl der Ziffern exakt berechnen möchte, ohne einen Taschenrechner zu benutzen, würde ich in diesem Fall einfach die Zahl berechnen und die Anzahl der Ziffern zählen. Das ist in diesem Fall nämlich gar nicht mal so schwer. Beispielsweise so:
70 ⋅ 4⁸ ⋅ 125⁵
= 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ (2²)⁸ ⋅ (5³)⁵
= 7 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2¹⁶ ⋅ 5¹⁵
= 7 ⋅ 2¹⁷ ⋅ 5¹⁶
= 7 ⋅ 2 ⋅ 2¹⁶ ⋅ 5¹⁶
= 7 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5)¹⁶
= 7 ⋅ 2 ⋅ 10¹⁶
= 14 ⋅ 10¹⁶
= 140000000000000000
Man hat also die beiden Ziffern 14 und danach noch 16 Nuller, was dann 18 Stellen im Dezimalsystem sind.
Oh ich sehe grad es müsste 70 x 4^8 x 125^5 heißen. x soll Multiplikation darstellen