Wie viele Lösungen hat ein Gleichungssytem?
Hey ihr da im Netz,
Ich hätte da mal eine Frage bezüglich Mathe und „Gleichungssystemen“...
Ich habe folgende Aufgabe bekommen (siehe Bild)
Wie man in der Fragestellung sehen kann soll ich bestimmten wie viele mögliche Lösungen die jeweiligen Gleichungen haben, doch woher weis ich das? Wie berechnet und begründet man so etwas?
-Anmerkung: Ich will nicht einfach die Lösungen hier hingeschmiert bekommen, sondern erklärt bekommen wie man das rechnet...wenn ihr Lösungen zur Hilfe von Beispielen nutzt isr mit das aber recht!
Ich danke im Vorraus.
~ChaotenJo
5 Antworten
Löst Du ein Gleichungssystem mit einer der drei möglichen Verfahren (Gleichsetzungs-, Einsetzungs-, Additionsverfahren) auf, dann gibt es drei mögliche Ergebnisse:
1. Du bekommst für die beiden Unbekannten konkrete Zahlen raus; dann gibt es dieses eine Lösungspaar (x|y) [oder wie die Unbekannten auch heißen mögen].
2. nach dem Auflösen sind alle Unbekannten "weg" und Du erhältst eine wahre Aussage, z. B. 0=0. D. h. es gibt unendlich viele Lösungen.
3. nach dem Auflösen sind alle Unbekannten "weg" und Du erhältst eine falsche Aussage, sowas wie 0=1. D. h. es gibt unendlich viele Lösungen.
"Graphisch" gesprochen:
Formst Du alle Gleichungen so um, dass Du die Geradengleichung y=mx+b erhältst, dann siehst Du direkt am m und dem b, wieviele Lösungen es gibt:
1. ist das m in beiden Gleichungen verschieden, dann schneiden sich die beiden Geraden, also 1 Lösung
2. das m und b sind gleich, d. h. beide Geraden sind identisch und es gibt unendlich vielen Lösungen
3. das m ist gleich, aber das b verschieden, d. h. die Geraden sind parallel, d. h. es gibt keinen Schnittpunkt, d. h. es gibt keine Lösung
Du subtrahierst beide passend.
a und b habe keine Lösung, weil
0 = 8
und
0 = 6
rauskommen.
Bei c gibt es eine Lösunng:
14 x = 0
also x = 0, damit y = 0
Um ein LGS (Lineares GleichungsSystem) eindeutig zu lösen, müssen ebensoviele Gleichungen vorhanden sein wie Unbekannte.
Bei diesen einfachen Fällen da oben sind die Unbekannten x und y.
Deshalb sind es immer jeweils 2 Gleichungen.
Es gibt in der Regel für jede Variable eine Lösung. Es gibt aber Ausnahmen, wenn du zum Beispiel am Ende eine Wurzel hast z.B. x= Wurzel 4 , dann gibt es 2 Lösungen, nämlich +2 und -2.
Zu der Aufgabe: meiner Meinung nach die einfachste Möglichkeit ist das Einsetzverfahren, bei dem du zuerst eine der beiden Gleichungen nach einer Variable auflöst und das Ergebnis in die zweite einsetzt. Du kannst es aber auch mit dem Gleichsetz-, Additions- oder Subtraktionsverfahren machen.
Beispiel a):
2x=3y+4 |-4
2x-4=3y |:3
...=y
Und dann das Ergebnis von y in für y in der 2. Gleichung einsetzen und x ausrechnen. Du kannst natürlich auch zuerst x und dann y machen. Das ist egal.
hier geht es mehr ums DENKEN als ums rechnen!
zb a) Kann 2x sowohl 3y+4 als auch 3y-4 sein ?
Keine Lösung also.
b) genauso
c) hier fehlt ein Summand
daher ist x=0 , y=0 Lösung
d) multipliziere die zweite Glg mit minus 1 . Was passiert ?
wählt man ein x , kann man das dazugehörige y berechnen , daher unendlich viele Lös.
e) +784 und daher ?
f) umschreiben zu
0.5y + 0.5x = -8.5
-0.5y + 0.5x = 52.5
sieht nicht nach keiner
sieht nicht nach unendlich aus
also eine Lösung
g)
2x = 3.5y + 1
2x = -3.5y - 2/3
wie f)
h)
umstellen und überlegen :))