wie rechne ich mit der zweiten ableitung?
In einer Kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunten Bobbycars statt. Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)=0,0003t^4-0,024t^3+0,605t^2 angegeben werden, wobei 0< t < 40 die Zeit in Sekunden ist, f(t) die zurückgelegten Meter.
a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbycar seine Höchstgeschwindigkeit? b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in der zweiten Hälfte des Rennens. Geben Sie sie in km/h an.
Ich weiß, dass ich bei a) die zweite Ableitung bilden muss dann hab ich die nullstellen, x=7,13 und x=-47.13. Allerdings komme ich ab da nicht weiter, wie muss ich jetzt weiter rechnen? Danke schon mal im vorraus :)
3 Antworten
Hallo Experte2000
Für die Lösung der Aufgabe braucht man mehrere Ableitungen:
f(t) = 0,0003t^4 - 0,024t³ + 0,605t²
f'(t) = 0,0012t³ - 0,072t² + 1,21t
f''(t) = 0,0036t² - 0,144t + 1,21
f'''(t) = 0,0072t - 0,144
a) Die Höchstgeschwindigkeit, also vmax (das ist (f'(t))max) wird für das t erreicht, bei dem f''(t) = 0 uind f'''(t) < 0 ist.
f''(t) = 0,0036t² - 0,144t + 121 = 0; I *1/0,00036
t² - 40t + 336,111 = 0; pq-Formel anwenden
t1 = 20 + Wurzel(400 - 336,111) = 20 + 7,993 = 27,993 (ca. 28)
t2 = 20 - Wurzel(400 - 336,111) = 20 - 7,993 = 12,007 (ca. 12)
f'''(t1) = 0,0072*28 - 0,144 = 0,0576 > 0; bei t1=28 liegt ein Minimum vor
f'''(t2) = 0,0072*12 - 0,144 = -0,0576 < 0; bei t2 = 12 liegt ein Maximum vor
Die Höchstgeschwindigkeit wird bei t2 = 12,007 s erreicht.
Sie ist f'(t2) = 0,0012*12³ - 0,072*12² + 1,21*12 = 6,2256 m/s = 22,41 km/h. Da dies ein relatives Hoch ist, muss noch die Geschwindigkeit am Ende des Rennens bei te=40s berechnet werden:
f'(te) = 0,0012*40³ - 0,072*40² + 1,21*40 = 10,00 m/s = 36 km/h.
Die absolute Höchstgeschwindigkeit wird also am Ende des Rennens mit 10 m/s bzw. 36 km/h erreicht.
b) Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Rennens in der zweiten Hälfte des Rennens, also von tm=20s bis te=40s, ist:
vm = (1/20)*Integral(f'(t)dt von tm bis te = (1/20)*(f(te) - f(tm)) =
= (1/20)*(0,0003*40^4 - 0,024*40³ +0,605*40² - 0,0003*20^4 + 0,024*20³ - 0,605*20²)
= 5,1 m/s = 18,36 km/h
Es grüßt HEWKLDOe.
die Geschwindigkeit ist die Ableitung und das maximum der Geschwindigkeit ist dort zu suchen, wo die Ableitung der Geschwindigkeit (also die zweite Ableitung) null ist - das hast du schon gut erkannt.
Um aber Maximum von Minimum und Sattelpunkt zu unterscheiden muss man noch eine Ableitung bilden und darin diese Punkte einsetzen um zu schauen wie es da aussieht.
p.s. x = -47.13 ist für dich uninteressant, weil ausserhalb des Definitionsbereichs.
Es interessiert ja auch nicht wie sicher ein Auto im Fluge ist, weil er dafür ja nciht gebaut wurde^^
also müsste ich jz die zweite Ableitung nochmal ableiten? Wäre es dann -9/1250t-0.144?
ja habe ich auch raus, aber wenn ich den punkt 7,13 einsetzte kommt da -0,195336 raus. das ergibt doch keinen sinn oder?
bei 7,13 habe ich was anderes heraus.
Jedenfalls sollte da wohl etwas negatives heraus kommen und das bedeutet, dass wenn die Nullstelle von f''(x) bei f'''(x) negativ ist, dass diese Nullstelle dann ein maximum von f'(x) ist - ergo das was du suchst.
Nur sollte dein Rechenweg erstmal stimmen.
f'(t) soll maximal werden
also muss man die 2.Ableitung untersuchen f''(t)=0
Außerdem sollte man noch die Ränder untersuchen f'(0) und f'(40s)
Die Höchstgeschwindigkeit wird nach 40s erreicht also im Ziel
v(40s)=10m/s=36km/h
Aber die Extrempunkte muss man trotzdem untersuchen
Zwei Wendestellen:
Nämlich W(27,993/131,842) und W(12,0069/51,9117)
Man muss jetzt die beiden Wendestellen in die 1.Ableitung einsetzen
Weil die 1.Ableitung die Geschwindigkeit ist
Die Grenzen müssen auch untersucht werden
ich bekomme dann t^2 -60t + 3025/2 raus muss ich das dann in die pq formel einsetzten?
Oha Vielen,lieben Dank! Super erklärt und übersichtlich aufgeschrieben :). Jetzt habe ich es auch verstanden :D