Mathe - Nullstellen?
Guten Tag.
Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - ich verstehe eine Thematik nicht. Meine Frage bezieht sich dabei vor allem auf das Ableiten.
Wenn ich in der Ausgangsform (f(x)) einen Extrempunkt habe - dann wird dieser in der ersten Ableitung zur Nullstelle (f'(x)). Wie entwickelt sich die Nullstelle nun in f"(x) - also der zweiten Ableitung - weiter?
Wird die Nullstelle nun zum Extremum - oder bleibt es eine Nullstelle?
Vielen Dank - ich hänge unten ein Beispiel ein, fokussiert euch bitte auf 6c.
4 Antworten
Wenn ich in der Ausgangsform (f(x)) einen Extrempunkt habe - dann wird dieser in der ersten Ableitung zur Nullstelle (f'(x)).
Das ist korrekt. f'(x) wird deshalb zu Null, weil f'(x) die Steigung angibt und Extremstellen immer eine waagrechte Tangente haben. Eine waagrechte Tangente hat aber immer die Steigung 0.
Setzt man f'(x) = 0, errechnet man damit Tiefpunkte, Hochpunkte und waagrechte Wendepunkte, weil dort die Steigung = 0 ist.
Um welchen dieser 3 Extrema es sich handelt, sagt f''(x) aus, weshalb man bei der Kurvendiskussion immer auch die 2. Ableitung bilden muss. f''(x) kann man als ein Maß für die Krümmung der Kurve f(x) auffassen. Dann setzt man den x-Wert des Extrempunktes in f''(x) ein und rechnet es aus. Das Ergebnis sagt dann, welches Extremum vorliegt:
f''(x) ≻ 0 : Tiefpunkt (Krümmung geht nach oben Richtung +)
f''(x) = 0 : Wendepunkt (es liegt keine Krümmung vor, bzw. sie wechselt die Richtung)
f''(x) ≺ 0 : Hochpunkt (Krümmung geht nach unten Richtung -)
Extrempunkt der Ausgangsfunktion bedeutet richtigerweise, dass die erste Ableitung (=Steigung der Ausgangsfunktion) dort Null ist, also ihre Nullstelle hat.
Den Wert der zweiten Ableitung (ob >, < oder =0) erkennst Du an der Krümmung des Graphen:
Hochpunkt=Rechtskrümmung=2. Ableitung <0;
Tiefpunkt=Linkskrümmung=2. Ableitung<0.
Weißt Du, dass es sich beim Ausgangspunkt um eine Wendestelle handelt (wie bei b) Punkt D), dann bedeutet das, dass in diesem Punkt die Krümmung wechselt, d. h. die 2. Ableitung ist dort Null, hat also dort ihre Nullstelle. Über die erste Ableitung sagt das erst einmal nichts genaues aus, nur dass diese dort ihre Extremstelle hat, also lokal die stärkste/schwächste Steigung hat. Bei b) Punkt D ist die Steigung z. B. "lokal maximal negativ", hingegen bei c) Punkt B ist sie Null, und das bedeutet, dass dort ein "Sattelpunkt/Terrassenpunkt" vorliegt (f'=f''=0).
Deine "Wortwahl" finde ich etwas verwirrend, denn es entwickelt sich ja an diesen Punkten nichts und es ändert sich nichts.
Du hast es bei einem gegebenen Graphen mit "Fakten" zu tun! :)
Punkt B ist ja eindeutig sichtbar die Nullstelle von f(x). Und man sieht, dass die Funktion dort steigend ist, d. h. man kann über f'(x) sagen, dass sie >0 ist. Zudem sieht man, dass der Graph in diesem Bereich nach links gekrümmt ist. D. h. f''(x) ist ebenfalls >0. Ansonsten gibt es hier "nichts besonderes" zu berichten. Es sind für f' und f'' keine markanten Punkte, im Gegensatz zu Extrem- und Wendepunkten.
Okay, danke.
Ich meinte dies aber eher im Hinblick auf die Aufgabenstellung - der Punkte A und C wären im Falle der ersten Ableitung oberhalb der x-Achse und somit positiv, da sie in der Ausgangsgleichung gestiegen sind.
Wie wäre es aber bei B? B ist in 6a eine Nullstelle - bleibt der Punkt in den Ableitungen (1 & 2) auch eine Nullstelle? Oder ist er beispielsweise nun ein Extremum?
Ich meine beispielsweise den Punkt B in 6a) oder auch den Punkt C in 6b). Letzterer wird in seinem Falle erst in der ersten Ableitung zur Nullstelle, da C in der Ausgangsfunktion ein Extrempunkt ist - was wird aus der Nullstelle bzw. aus dem Punkt C aber in der zweiten Ableitung?
Bleibt er fortan eine Nullstelle?
Das meinte ich damit, dass Punkt B in a) bzgl. der 1. und 2. Ableitung nichts besonderes ist. Du kannst nur aussagen, dass f'(x)>0 ist, weil der Graph in B ansteigt, und f''(x)>0, weil der Graph in B eine Linkskurve macht.
Handelt es sich um einen Extrempunkt (wie bei Punkt C in b) ), dann kannst Du mit Gewissheit sagen, dass f'(x)=0 ist. Handelt es sich um eine Wendestelle (wie bei Punkt D in b) ), dann ist f''(x)=0, und das bedeutet, dass f'(x) dort seine Extremstelle hat, d. h. hier ist die Steigung am stärksten.
Dann habe ich dich missverstanden, sorry.
Das bedeutet, aber auch, dass Punkt B nun keinen direkten Gebrauch mehr hat - B bleibt nun dauerhaft auf der x-Achse und ermöglicht das Ablesen von Krümmung und Steigung.
Könntest du bitte - sofern es zeitlich passt - nur einmal komplett auflisten, wie B sich in 6a ''verändern'' würde?
f(x) = B ist eine Nullstelle
f'(x) > 0 - B stieg in f(x) an
f'' (x) > 0 - B hat eine Linkskurve gehabt
Ich weiß jetzt nicht was noch unklar ist... (Du hast es ja richtig zusammengefasst)
B liegt auf der x-Achse, d. h. bei B ist eine Nullstelle. Die entsprechende Stelle des Graphen f' (ich nenne den Punkt mal B') liegt oberhalb der x-Achse (wie übrigens alle Punkte des sichtbaren Graphen, da diese Funktion hier ständig steigt), wo genau kann man ohne konkrete Funktionsgleichung nicht sagen.
Für B'' gilt das gleiche. Da die Funktion linksgekrümmt ist liegt B'' über der x-Achse (wie jeder andere Punkt auch, da diese Funktion im Sichtfeld komplett linksgekrümmt ist), wo genau kann man auch hier nicht sagen.
Was man über B' und B'' sagen kann ist, dass bei beiden weder eine Null- noch eine Extremstelle vorliegt
Tatsächlich ist diese Antwort die perfekte Zusammenfassung, danke.
Ich habe nämlich dauerhaft das Problem gehabt, dass ich nicht wirklich folgen und verstanden konnte, was aus B wird - sorry.
Ich wusste nämlich nicht, was aus einer Nullstelle wird, sollte sie ''abgeleitet'' werden - jetzt sollte ich es vollständig verstanden haben.
Mir fehlte der Zusatz, wie ich mittels der Krümmung eine mögliche Positionierung (oberhalb & unterhalb der x-Achse) ausmachen kann.
Ja, meist ist in Aufgabenstellungen (wenn der Graph nicht sichtbar ist) umgekehrt gefragt, wie bei einer Funktion die Krümmung ist. Dann muss man eben die 2. Ableitung prüfen, ob sie an der gefragten Stelle >0 (linksgekrümmt) oder <0 (rechtsgekrümmt) ist.
Und solltest Du wegen der Krümmung mal unsicher sein und kannst nicht nachschauen, z. B. in einer Klausur, dann rufe Dir einfach die Normalparabel f(x)=x² ins Gedächtnis. Diese kann man leicht im Kopf ableiten x² -> 2x -> 2, d. h. die 2. Ableitung ist >0 und Du weißt, dass die Normalparabel linksgekrümmt ist, also bedeutet >0 gleich linksgekrümmt. :)
Für 6c:
f(A) ist negativ
f'(A) ist positiv, denn die Funktion steigt dort
f''(A) ist negativ, denn die Funktion hat dort eine Rechtskurve
f(B) ist negativ
f'(B) ist null, denn die Funktion steigt dort nicht und fällt nicht
f''(B) ist null, denn die Steigung der Funktion ist vorher positiv und nimmt bis 0 in B ab, danach wird die Steigung wieder zunehmend positiv. f hat dort also einen Sattelpunkt.
f(C) ist null, f hat dort also einen Nullpunkt
f'(C) ist positiv, denn die Funktion steigt dort
f''(C) ist positiv, denn die Funktion hat dort eine Linkskurve
Okay, danke.
Aber warum ist f(C) = Null?
Es liegt doch im 1. Quadranten und oberhalb der x-Achse.
Ich habe mich leider verwechselt, du beziehst dich natürlich auf 6c - was passiert denn aber mit dem Punkt D in der Aufgabe?
Und wäre es möglich, dass du es auch grob an 6a erklärst? Ich verstehe es noch immer nicht wirklich.
Danke.
aber mit dem Punkt D in der Aufgabe?
Den habe ich zuerst nicht gesehen.
f(D) > 0 also positiv
nun kannst Du f ableiten bzw Dir überlegen, wie die Steigung ist oder sich um D herum ändert. Die Steigung ist positiv und wird immer größer, die Kurve wird also steiler.
f'(D) ist also positiv und nimmt zu.
f'' beschreibt die Krümmung der Kurve. Die Kurve neigt neigt sich nach links, also ist f''(D) positiv.
Für 6a:
Für f kann man es bei den verschiedenen Punkten direkt sehen:
f ist erst negativ, so auch im Punkt A.
Im Punkt B schneidet f die x-Achse, daher ist in B eine Nullstelle, denn der Wert (auf der y-Achse) ist 0.
f(C) ist positiv
Kommen wir zur ersten Ableitung. Der Wert der Ableitung besagt, wie stark die Funktion steigt oder fällt. f steigt stetig an, also ist f'(A) und f'(B) und f'(C) positiv.
Nun zur zweiten Ableitung. Sie sagt etwas über die Krümmung der Kurve aus. bei einer Links-Krümmung der Kurve ist die zweite Ableitung positiv, bei einer Rechts-Krümmung ist die zweite Ableitung negativ.
Wenn wir uns die Kurve anschauen, stellen wir fest, dass sie nur nach links gekrümmt ist. Also ist die zweite Ableitung in allen Punkten positiv.
Wendepunkt - Extrempunkt - Nullstelle
Okay, herzlichen Dank.
Aber wie wäre es beispielsweise im Fall der Aufgabe 6a - wie verändert sich B dort?