Mathematik - Ableitung graphisch?
Guten Tag
Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - können sie mir die jeweiligen Ableitungen erklären?
Ich sollte zu jedem einzelnen Graphen (grünes Kästchen) die Ableitung bilden - erkennbar an den orangenen Graphen.
Warum aber setzt man beispielsweise bei Graph II. und III. sehr weit oben an? Es liegt doch kein "ehemaliger" Extrempunkt an dieser Stelle vor?
Vielen Dank.
4 Antworten
Wenn es Dir zu weit oben ist, skaliere die y-Achse größer.
Warum aber setzt man beispielsweise bei Graph II. und III. sehr weit oben an?
bei II heißt die Gerade parallel zur x - Achse wahrscheinlich
x = 6
bei III
x = 2
denn diese Werte sind die Steigung m der Geraden II bzw III .........
schauen wir mal bei
II . . . Ich kann den Punkt 0.5/4 exakt ablesen .....auf 0.5 nach rechts geht es 4 nach oben , also auf 1 nach rechts 8 nach oben . Die Steigung ist also 8
(nicht 6 wie von mir vermutet)
bei III lese ich 1/2 exakt ab . Welche steigung ist das ?
Ableitungen von Geraden sind Parallelen weil aus
y = mx + c
y' = m wird .
bei vier kann man den Punkt 0.5 / 2 bei der Parabel identifizieren.............
also muß aus 0.5*0.5 die 2 werden . Das ist bei 0.25 * ? = 2 , also 8 der Fall . Die Parabel hat also die Glg : y = 8x²..............dementsprechend hat die Gerade die Steigung 8 .
Bei II meintest du wahrscheinlich (0,5 | 3), dann kommt es mit der Steigung 6 nämlich genau hin
Bei 2 und 3 setzt man oben an, weil die Steigung konstant ist. Die grünen Graphen sind ja lineare Funktionen, und lineare Funktionen haben in jedem Punkt die selbe Steigung. Darum muss die Ableitungsfunktion (die ja die Steigung des Originals an jeder Stelle angibt) eine konstante Funktion sein, d.h. sie hat an jedem Punkt den selben Funktionswert (nämlich gerade die Steigung der Original-Funktion). Konstante Funktionen sind, wie du siehst, parallel zur x-Achse.
Schau dir zum Beispiel den zweiten Graphen an. Wenn man vom Ursprung aus ein Kästchen nach oben geht, muss man sechs Kästchen nach oben, um die Funktion wieder zu treffen (Steigungsdreieck) Wenn man das jetzt auf zwei Kästchen umrechnet (das ist ja dann eine Einheit im Koordinatensystem), so geht man pro Einheit (zwei Kästchen) eben zwölf Kästchen (6 Einheiten) nach oben. Die Steigung ist also 6.
Beim dritten Graphen kann man es direkt ablesen: Eine Einheit nach rechts, zwei nach oben, ergo ist die Steigung 2. Eben deshalb gehen die Ableitungsfunktionen auf der y-Achse durch 6, beziehungsweise 2.
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Das Problem bei I und IV ist aber, dass man die Steigung nur für lineare Funktionen wirklich ablesen kann. Hier hast du aber Parabeln.
Klar ist zumindest, dass die Ableitungen ihre Nullstellen dort haben, wo die Original-Funktionen ihre Scheitelpunkte haben. An Extremstellen ist die Ableitung notwendigerweise 0, das habt ihr bestimmt schon behandelt.
Zu I) überlegt man sich noch zusätzlich, dass der Graph vor dem Scheitelpunkt steigt und danach fällt. Das muss sich dann in der Ableitungsfunktion widerspiegeln. Sie muss x=0 positiv und dann negativ werden. Damit kennt man bereits die Form der Ableitung, es muss sich um eine Gerade handeln, die von oben links kommt und dann durch den Ursprung nach unten rechts geht. Da die grüne Funktion recht breit ist, wird die Ableitung entsprechend eher flach sein, was sich an der Achsenskalierung in der Lösung ja auch zeigt.
Für eine qualitativere Aussage über die Ableitung kann man grafisch argumentieren und eine Tangente an einen gut ablesbaren Punkt des Graphen zeichnen, deren Steigung man dann mit einem Steigungsdreieck ermitteln kann. Man "ersetzt" quasi einen Teil des Graphen durch eine lineare Funktion und nähert somit die Steigung an, wie man es bei II und III direkt gemacht hat.
Ich habe das mal näherungsweise gemacht:
Die rote Linie ist die Tangente am Punkt P(0,5 | 1,25) des grünen Graphen. Für die Steigung dieser Tangente braucht man zwei Punkte, die auf dieser liegen. Besonders gut eignen sich Q(3 | 0) und eben P. Die Tangentensteigung geht dann wieder mit 'nem Steigungsdreieck: Von Q aus muss man 2,5 nach rechts und 1,25 nach unten. Auf eine Einheit skaliert (also -1,25 durch 2,5 teilen) ergibt das -0,5 als Steigungswert.
Soll heißen: An der Stelle x=0,5 muss die Tangente den Funktionswert -0,5 besitzen.
Wenn man nun also in ein Koordinatensystem die Punkte (0 | 0) und (0,5 | -0,5) einzeichnet und verbindet, erhält man eine Näherung(!) der Ableitungsfunktion, die so ziemlich genau wie die ausschaut, die als Lösung vorgegeben ist.
Mit der selben Argumentation erhält man dann auch eine Ableitungsskizze für IV. Ich find die Beispiele nur nicht wirklich gut gewählt, da die Parabeln sehr gestreckt bzw. gestaucht sind und damit die Steigungswerte nicht so leicht zu berechnen sind.
Okay, danke.
Bei IV werde ich dann wohl herumprobieren.
Kleine Korrektur:
"Zu I) überlegt man sich noch zusätzlich, dass der Graph vor dem Scheitelpunkt steigt und danach fällt. Das muss sich dann in der Ableitungsfunktion widerspiegeln. Sie muss vor x=0 positiv und danach negativ werden."
Entschuldigen Sie bitte die Störung - aber könnten sie dies vielleicht auch noch am Beispiel IV erklären?
Die "Taktik" ist, sich zwei Punkte zu suchen, die näherungsweise auf dem Graphen der Ableitung liegen müssen. Sicherlich liegt der Ursprung drauf, denn dort hat die grüne Funktion ihren Scheitelpunkt.
Um einen zweiten Punkt der Ableitung näherungsweise zu bestimmen, sucht man sich nun einen Punkt auf der Funktion, den man gut ablesen kann. Ich nehme hier mal P(0,5 | 2,5). Es sieht zumindest so aus, als würde er drauf liegen, mehr gibt die Bildauflösung leider nicht her.
Ich schicke das Bild hier mal als Link rein, weil man die Bilder in Kommentaren nicht direkt einbinden kann: https://imgur.com/a/bCHp3pU
Die rote Linie berührt die Funktion (näherungsweise natürlich) nur, und zwar genau im Punkt P. Jetzt sucht man sich von der roten Linie noch 'nen Punkt, den man ablesen kann. Ich nehme hier mal Q(0,25 | 0)
Jetzt nimmt man sich wieder das Steigungsdreieck zur Hand und schaut, wie man von Q nach P kommt: Eine Vierteleinheit (0,5 Kästchen) nach rechts, 2,5 Einheiten (5 Kästchen) nach oben. Macht auf eine Einheit umgerechnet eins nach rechts, 10 nach oben, also hat diese Gerade ungefähr(!) die Steigung 10.
Wenn man jetzt also die Punkte (0|0) und (0,5 | 10) in ein neues Koordinatensystem einzeichnet und verbindet, erhält man ungefähr die Ableitung der Funktion als Graphen. Diese Zeichnung stimmt dann auch mit der Lösung überein. Wie gesagt, die Achsenskalierungen in der Lösung sind ziemlich mau, weil es nur so große Schritte sind und man eigentlich nichts vernünftig ablesen kann, um die eigene Lösung zu prüfen.
Ich hab mir die Parabeln I und IV sowie deren tatsächliche Ableitungen mal mit einem Programm näherungsweise skizzieren lassen und die Achsen entsprechend "toll" skaliert. Da kam dann so ziemlich das raus, was auch in den Lösungen abgebildet ist. Ich denke also, dass es so passen sollte.
Noch ein kleiner Zusatz: Man rechnet die Steigung der roten Geraden aus, um einen zweiten Punkt der Ableitung zu gewinnen. Man braucht ja zwei Punkte, um eine Gerade zeichnen zu können, und die Ableitung einer Parabel ist eben immer eine Gerade. Das ist in diesem Kommentar und der Antwort nicht ganz klar geworden, wie ich finde.
Der Funktionswert der Ableitung an der Berührstelle der roten Gerade ("Stelle" bedeutet immer x-Koordinate, hier 0,5) ist das selbe wie die Steigung der Berührgeraden (auch Tangente genannt).
Der Berührpunkt war P(0,5 | 2,5). Um den Punkt auf der Ableitung zu bekommen, ersetzt man nun einfach die y-Koordinate (also 2,5) des Berührpunktes mit der Geradensteigung. So bin ich auf (0,5 | 3) als zweiten Punkt der Ableitung gekommen.
Graph 2 hat eine große Steigung. delta y / delta x kannst ausrechnen, dann verstehst du.
Graph 3 ist niedriger, weil Steigung niedriger.
Könnten sie mir das möglicherweise anhand des Graphen I erläutern?
Danke, mittlerweile habe ich es auch verstanden.
Wie mache ich es aber beispielsweise bei I oder IV?
Ich habe bei I die Punkte P(1/-1) und T(-1/-1) - über die oben genannte Methode würde aber ein Bruch von 0/-2 herauskommen?
Und dies wird wahrscheinlich nicht richtig sein.