Wie löst man dieses Problem aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Man hat 10 Kugeln, 2 davon sind rot und 8 grün.
Diese befinden sich in einer undurchsichtigen Urne.
Man zieht 10 mal hintereinander eine Kugel aus der Urne, ohne zurücklegen.
Das macht man solange, bis keine Kugel mehr in der Urne ist.
Die gezogenen Kugeln werden horizontal auf einer Linie der Reihe nach von links nach rechts nebeneinander gelegt, und zwar genau in der Reihenfolge, wie sie gezogen wurden.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden roten Kugeln in der Mitte liegen?
(4x grün, 2x rot, 4x grün)
Dabei ist es völlig egal, welche grünen bzw. welche roten wo liegen, es kommt nur darauf an, dass irgendwelche 4 grünen links liegen, irgendwelche 4 grünen rechts liegen und irgendwelche 2 roten in der Mitte liegen.
Mit anderen Worten, die Farbkombination / das Farbmuster 4x grün, 2x rot, 4x grün, also
grün, grün, grün, grün, rot, rot, grün, grün, grün, grün
soll eingehalten werden, aber es ist dabei völlig egal, um welche grüne oder rote Kugel es sich dabei ganz genau im einzelnen handelt, es kann also irgendeine grüne und irgendeine rote Kugel sein. Aber die roten Kugeln müssen nacheinander gezogen werden und sie müssen beim 5-ten mal ziehen und 6-ten mal ziehen gezogen werden. Und es spielt keine Rolle, welche der beiden vorhandenen roten Kugeln beim 5-ten mal ziehen oder 6-ten mal ziehen gezogen wird.
Ich hoffe, dass ich die Frage unmissverständlich formuliert habe.
Ich habe ein kleines Computerprogramm geschrieben, und das Ganze simuliert.
Ich bin dabei auf eine Wahrscheinlichkeit von zirka 22,1 % gekommen, wobei die letzte Ziffer eventuell noch unsicher bzw, gerundet ist.
Ich könnte mich damit jetzt zufrieden geben, aber -->
1.) Ich könnte beim programmieren einen Denkfehler gemacht haben, dann wäre mein Ergebnis falsch.
2.) Ich würde gerne wissen, wie man das ohne Monte-Carlo-Simulation ausrechnet.
6 Antworten
(8/10) * (7/9) * (6/8)*(5/7)*(2/6)*(1/5)*(4/4)*(3/3)*(2/2)*(1/1)=0,022222
=> 2,222 %
Recht herzlichen Dank für deine Antwort !
Ich habe festgestellt, dass ich in einem Unterprogramm einen Fehler drin hatte und mein Ergebnis fälschlicherweise noch mit 10 multipliziert wurde.
Ich komme jetzt auch auf 2,2 %
Dafür bekommst du von mir die Auszeichnung zur hilfreichsten Antwort ! Weil du der erste warst.
Beim ersten Zug musst du eine grüne ziehen: W-keit 8/10.
Beim zweiten Zug musst du eine grüne ziehen: W-keit 7/9.
Beim dritten: 6/8
Beim vierten: 5/7
Beim fünften musst du eine rote ziehen: 2/6
Beim sechsten: 1/5.
Insgesamt ergibt sich:
8/10 * 7/9 * 6/8 * 5/7 * 2/6 * 1/5 = 1/45 ~ 2.22%
Es geht auch etwas eleganter: Nummerieren wir die Kugeln durch, sagen wir die roten Kugeln haben Nummer 1 und 2, dann suchen wir eine Folge der Form
(*,*,*,*,1,2,*,*,*,*) oder (*,*,*,*,2,1,*,*,*,*)
Für beide Formen gibt es jeweils 8! Möglichkeiten. Insgesamt gibt es 10! Permutationen. Wir erhalten also:
2 * 8! / 10! ~ 2.22%.
Hallo,
ohne Beachtung der Reihenfolge gibt es 10 über 2 gleich 45 Möglichkeiten, wie sich die beiden roten Kugeln unter den acht anderen verteilen.
Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, daß beide genau in der Mitte liegen, bei 1/45=0,0222=2,22 %
Daß Dein Ergebnis nicht stimmen kann, ist doch klar:
Bei einer Wahrscheinlichkeit von über 20 % wäre die Anordnung: Beide rote Kugeln liegen in der Mitte, eine von nicht mal fünf möglichen.
Ich kann Dir ja schon mal sechs andere Möglichkeiten aufzählen, wo sie sonst noch stecken können, womit sich Dein Ergebnis bereits erledigt hat.
Plätze 1 bis 10, rote Kugeln:
1-2; 1-3; 1-4; 1-5; 1-6; 1-7
Da sind wir noch längst nicht beim gewünschten Ergebnis 5-6.
Herzliche Grüße,
Willy
Gern geschehen. Habe gerade erst gemerkt, daß die Frage von Dir kommt.
Liebe Grüße,
Willy
Ja, wenn ich etwas nicht verstehe, dann habe ich keinerlei Hemmungen danach zu fragen ;-))
Vielen Dank für deine Antwort nochmals !
Hallo,
Deine Lösung kann nicht stimmen.
Zu Beginn hast du 10 Kugeln, 8 davon sind grün. Somit entspricht das einer Wahrscheinlichkeit von 8/10 also 4/5. Wenn du dann eine Kugel gezogen hast, sind es nur noch 9 Kugeln, 7 davon sind grün. Also 7/9. Wenn du wieder eine Kugel ziehst, hast du nur noch 6 grüne in der Urne mit insgesamt 8 Kugeln. 6/8. Diese Reihenfolge vervollständigt du nUn, bis alle Kugeln gezogen wurden.
Dann rechnest du:
8/10×7/9×6/8×5/7×2/6×1/5×4/4×3/3×2/2×1/1
Das ergibt 1/45. Also 2,22%.
Du hast acht grüne Kugeln (G) und zwei rote Kugeln (R).
Du suchst die Wahrscheinlichkeit für folgende Kombination:
GGGGRRGGGG
Dazu multiplizierst du einfach gemäß der Pfadregel die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander.
8 von 10 Kugeln sind rot, dann noch 7 von 9, dann 6 von 8, und immer so weiter:
8/10 * 7/9 * 6/8 * 5/7 * 2/6 * 1/5 * 4/4 * 3/3 * 2/2 * 1/1 = 0,02222... = 2,22%
Letztendlich kommst du auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von etwa 2,22%, bei deiner Simulation hast du dich also irgendwo um den Faktor 10 verrechnet.
LG Willibergi
Ja, genau, ich hatte in einem Unterprogramm einen Fehler drin, der das ganze noch mal mit 10 multipliziert hatte.
Recht herzlichen Dank für deine Antwort !
Recht herzlichen Dank für deine Antwort !