Frage von heyho9, 91

Wie löst man die folgende Gleichung?

0,12= x*e^(-0,5x)

Ich hab kein Plan...

Die Ausgangsgleichung war:

50= 250x*e^(-0,5x) +20

Dannn habe ich umgeformt bis zum obenstehenden, aber weiter weiß ich nicht... kann mir jemand helfen?

Antwort
von ProfFrink, 37

Hallo heyho9,

dieser Art von Formel ist algebraisch nicht beizukommen. Das heisst, dass sie durch Umformschritte nicht nach x auflösbar ist.

Trotzdem kannst Du ganz einfach eine numerische Lösung der Gleichung erreichen. Die brute-force Methode funktioniert so, dass Du auf Verdacht einen beliebigen x-Wert einsetzt und noch einen anderen benachbarten, und danach schaust ob ein zu grosses oder zu kleines Ergebnis herauskommt. Auf diese Weise kannst Du Dich iterativ an das richtige Ergebnis herantasten.

Aber es gibt auch weit bessere numerische Standardverfahren, die bereits nach wenigen Iterationsschritten die maximale Stellengenauigkeit erreichen, die ein Taschenrechner durch seine Mantissenlänge bietet. Das Newtonverfahren wäre eine Möglichkeit.

Die Lösungen heissen 

x = 0,127926

x = 8,527..


Kommentar von heyho9 ,

Ich habe auf meinem GTR den Graphen gezeichnet und x-Werte eingegeben, bis der gewünschte Wert in etwa erreicht war. Aber das kann man ja nicht in der Klausur bringen..

Kommentar von ProfFrink ,

Doch, bei dieser Art von Gleichung musst Du es sogar so machen. Wenn Dir in einer Klausur so eine Aufgabe gestellt wird, besteht die erste geistige Leistung darin, dass Du erkennst, dass das was für Deinen GTR ist.

Kommentar von heyho9 ,

Haha ok wenn du das sagst ^^ wieso kennst du dich damit so gut aus

Kommentar von ProfFrink ,

Ich war früher Hochschulassistent an einem Institut für Theoretische Elektrotechnik. Dort habe ich fünf Jahre lang von morgens bis abends nichts anderes als Mathematik getrieben. Und alles was nicht algebraisch lösbar war, haben wir mit numerischer Mathematik gelöst.

Antwort
von YStoll, 35

Gehst du noch zur Schule oder zur Uni?

Diese Aufgabe kann man ohne die Lambertesche W-Funktion (oder etwas äquivalentes) nicht exakt lösen. Du könntest dich numerisch nähern oder durch Glück das richtige Ergebnis raten.

Da die beiden einzigen reellen und ein paar der komplexen Lösungen jedoch nicht algebraisch scheinen (scheinbar keinen algebraischen Real- und Imaginärteil haben bei den komplexen Werten) halte ich das für recht unwahrscheinlich.

Wenn ihr euch also nicht grade mit Numerik, der Lambertschen W-Funktion oder "Funktionen zeichnen und Schnittpunkte messen" beschäftigt nehme ich an, dass an deiner Aufgabenstellung etwas falsch ist.

Wenns dich interessiert: numerische Näherung für die beiden reellen Lösungen: 0.128 und 8.527.

Kommentar von heyho9 ,

Die Aufgabe ist, dass ich den Zeitpunkt berechnen soll, zu welchem die Konzentration einer Chemikalie in einem See, beschrieben durch die Gleichung f(x)= 250x*e^(-0.5x) +20 (in ng/l) erstmals unter 50 ng/l sinkt, wobei x die Einheit Wochen hat. folglich muss die Gleichung doch so aussehen: 50= 250x*e^(-0,5x) +20 oder sehe ich das falsch. ich gehe derzeit in die 11. Klasse und wir haben im Mathe GK gerade das Thema E-Funktion etc.

Kommentar von YStoll ,

Die von dir beschriebene Funktion verhält sich absolut nicht wie eine klassische Zerfallsfunktion.

mit f(x) = 250 * e^(-0.5x) +20 passt das viel besser zu einem exponentiellen Zerfall.

Antwort
von Wechselfreund, 4

Seit Zulassung des GTR haben es Schüler schwer zu erkennen, inwieweit sie den nutzen dürfen...  Steht in der Aufgabe berechnen Sie muss man rechen, steht da bestimmen Sie sollte man den GTR nutzen dürfen. Das ist aber ganz dünnes Eis...

Antwort
von toastcornflakes, 31

Du musst nun den Logarithmus Naturalis (ln) machen.

Die Aufgabe geht so:

0,12=x*e^(-0,5x)

ln(0,12)=x-0,5x*ln(e)

ln(e) ist definiert als 1, also ln(e)=1. Daher:

ln(0,12)=0,5x 

Das noch mal 2 Rechnen und das dann in den Taschenrechner eingeben.

P.S. falls du grundsätzliche Fragen in Mathe hast empfehle ich dir den YouTube Kanal: TheSimpleMaths. Die Erklären das alles sehr gut. 

Kommentar von YStoll ,

Beim Schritt 1 auf 2 hast du einen Fehler:

der ln betrifft auch das x vor dem e^(-0.5x).

Kommentar von MacOG ,

ln(0,12)=x-0,5x*ln(e)

das ist falsch, dass müsste:

ln(0,12) = ln ( x * e^(-0,5x) )

ln(0,12) = ln(x) + ln (e^(-0,5x))

ln(0,12) = ln(x) + (-0,5x)

sein

Kommentar von toastcornflakes ,

Ja, ihr habt recht. Ich habe das mal total außer acht gelassen -.- 

Kommentar von heyho9 ,

@MacOG trotzdem danke dass du dich bemüht hast :)

Antwort
von heyho9, 30

Ich würde gerne wisse wie du drauf kommst :)

Antwort
von lol515, 26

Was brauchst du denn? Was x ist?

x1~0,13
x2~8,53

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