Wie löse ich diese formel?
Wie errechne ich von dieser formel die nullstellen? x^3+x^2-17+15
Beim ausklammern habe ich ja eine Zahl zu viel hinten
4 Antworten
Meinst Du x^3 + x^2 - 17x + 15 = 0 ?
x = 1 ist offensichtlich, also (x - 1) mittels Polynomdivision abspalten und für den Rest die pq-Formel nutzen.
Falls die erste Lösung nicht offensichtlich ist, Teiler von 15 ausprobieren.
Falls es keine ganzzahligen Teiler gibt, kommen ein GTR oder ein Online-Programm infrage.
Alternativ - falls bekannt - kannst Du mit einem Näheungsverfahren, z.B. dem Newtonverfahren arbeiten oder die Caredanischen Lösungsformeln (kein Schulstoff) nutzen.
Finde heraus welche Teiler die Zahl 2 hat (-17 + 15 = -2 es sei denn es ist -17x gemeint, dann die Teiler von 15 finden)
Dann probierst du diese Teiler einfach aus und die negativen Gegenstücke dieser Teiler auch.
Wäre hier:
1, 2 und -1, -2
Und dann schaust du ob es Null wird oder nicht, kann klappen muss es aber nicht.
x³ + x² - 17 + 15 = 0
x³ + x² = 2
x²(x+1) = 2
In dieser Form erkennt man die einzige reelle Lösung x = +1
Die erste Nullstelle raten, dann Ausklammern (Polynomdivision) und Mitternachsformel/pq-Formel anwenden.
Zu Verfahren zur Faktorisierung siehe auch:
https://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials
Ist eher für das eigene Interesse, anwenden ist etwas komplizierter. Aber am ehesten wäre da dann das Kronecker-Verfahren infrage kommen. Ich fidne gerade aber keine einfache Erklärung dazu (und in der praxis wird das auch kompliziert, denn die Anzahl der möglichen Nullstellen ist groß).
Okay, habe jetzt was gefunden, was das Verfahren einigermaßen verständlich erklärt (und noch andere Verfahren anbringt)
https://users.encs.concordia.ca/~ford/UNCG/polfaci.pdf
Numeriche Verfahren sind in der Schule evtl. doch praktikabler, da kann man recht schnell abschätzen wo die Nullstelle in etwa liegt und dann sinnvoll raten.
Das Newton_verfahren wäre da ein Beispiel, das sich ergoogeln lässt.
Kurze Erklärung zu den verfahren:
Das Kronecker-Verfahren:
Gegeben ist ein Polynom von Grad n. beispielsweise dein Polynom oben von Grad 3.
Du möchtest eine Nullstelle von Grad m finden, beispielsweise eine Nullstelle von Grad 2.
Du bestimmst dafür m+1 verschiedene Funktionswerte für f:
f(0) = 0 + 0 - 17 + 15 = -2;
f(1) = 0;
f(2) = 8 + 4 - 17 + 15 = 10;
In dem Beispiel haben wir schon zufällig eine Nullstelle gefunden (x =1).
Nehmen wir an wir hätten einen anderen Wert ausprobiert:
f(0) = 0 + 0 - 17 + 15 = -2;
f(2) = 8 + 4 - 17 + 15 = 10;
f(3) = 27 + 9 - 17 + 15 = 34;
Von diesen Werten bestimmen wird die Primfaktoren:
-2 = -1 * 2;
10 = 2 * 5;
34 = 2 * 17;
Wir können jetzt das Polynom aufteilen in zwei Teile:
f(x) = g(x) * h(x);
mit
h(x) = sum(i = 0 bis m; u_i * x^i);
Bei uns wäre das
h(x) = u_2 * x² + u_1 * x + u_0;
Dabei dürfen die Werte u_i nur Primfaktoren sein der Werte die wir zuvor bestimmt haben:
u_2 = {-1, 2};
u_1 = {2, 5};
u_0 = {2, 17};
Macht insgesamt 8 Möglichkeiten, die man druchprobieren muss.
Man bildet h(x) führt dann eine Polynomdivision durch um g(x) zu bestimmen. Wenn g(x) gefunden wird, so hat man einen Faktor bestimmt und die Funktion verkleinert.
Wenn bei allen Möglichkeiten keines dabei ist, so hat f(x) keinen Faktor des Grades 2.
Dann macht man mit einem anderem Faktor (0, 1, 2, 3, ...) weiter.
Wenn man einen Faktor gefunden hat kann man auch h(x) oder g(x) weiterarbeiten (z.B. Mitternachtsformel anwenden oder erneut das Kronecker verfahren.
Zum Newton-Verfahren:
Du hast die Funktion f(x) und ihre Ableitung f'(x).
Du wählst einen Startpunkt x_0;
Dann führst du folgende Iteration aus:
x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n);
Damit lässt sich eine Nullstelle annähern, evtl. aber nicht genau bestimmen.
Beispiel:
f(x) = x³ + x² - 17 + 15;
f'(x) = 3 * x² + 2 * x;
x_0 = 3; (oder sonstwas);
x_1 = x_0 + f(x_0)/f'(x_0) = 3 + (27 + 9 - 17 + 15)/(27 + 6) = 3 + 34/33 = 4 + 1/33;
x_2 = x_1 + f(x_1)/f'(x_1) = 4 + 1/33 + ...
(...)
Mit dem Taschenrechner geht das einfacher.
Gibt noch andere Verfahren, die besser konvergieren.
Inwiefern die erste Nullstelle raten?