Wie kann ich die direkte Formel einer Zahlenfolge herausfinden wenn ich nur die Zahlenfolge gegeben habe?
Keines Beispiel : 2,6,18,54...
Wie komme ich jetzt da auf die direkte Formel ?
Gibt es da eine bestimmte Regel ?
Vielen Dank für eure Unterstützung ❤️
8 Antworten
Un=U1*r^(n-1)
Un= die gesuchte Stelle in der Zahlenfolge, z.b. U23 währe der 23.Wert
U1= der erste Wert der Zahlenfolge, in diesem Fall 2
r= der Wert, mit welchem die Zahö jedes Mal multipliziert wird, diesen musst du zunäachst herausfinden
n= die Nummer der gesuchten Zahl in der Zahlenfolge, wie oben, beim 23. Wert ist n=23
In deinem Fall wäre, wie schon gesagt, U1=2, r musst du ausrechnen und wirst dann sehen, dass r=3 ist. Jetzt hast du die Formel: Un= 2*3^(n-1) und du kannst jeden beliebigen Wert für n einsetzen, je nachdem welche Nummer du in der Zahlenfolge finden willst. Z.b. du suchst nach dem 5. Wert in der Zahlenfolge, setzt du das einfach in die Formel ein: U5= 2*3^(5-1), U5=162
Leider kann man in diesem Schreibformat das Bildungsgesetz nicht sauber übertragen. Es ist a Index n = 2 mal 3 hoch (n-1). Bei vorgenannten Lösungen wurde das erste Folgeglied a Index 1 nicht berücksichtigt. Eshandelt sich hier um eine monoton steigende Folge ohne Grenzwert und wird somit "divergend" genannt.
Es gibt keine Formel zur Findung des Bildungsgesetzes einer Folge. Oft hilft das Zerlegen der Einzelglieder in seine Primfaktoren. In diesem Falle wäre das:
a1 2 2*3hoch0 2
a2 2*3 2*3hoch1 6
a3 2*3*3 2*3hoch2 18
a4 2*3*3*3 2*3hoch3 54
a5 2*3*3*3*3 2*3hoch4 162
an.......
Ich denke am vorgeschalteten Schaubild wird das Konstrukt der Folge deutlich. Diese Untersuchung führt natürlich bei der "Fibonacci" Folge zu nichts. 1,2,3,5,8,13,21,34........
Hier sollte man vielleicht aus den Differenzen zweier benachbarter Glieder eine neue Folge bilden, um dann sehr schnell die Bildungstruktur festzustellen. Grundsätzlich muss konstatiert werden, dass es sehr komplexe Bildungsgesetze für Folgen gibt, beiden Untersuchungen mit den 4 Grundrechenarten bei weitem nicht ausreichen. Zusätzlich muss zu einem Bildungsgesetzt auch noch angegeben werden für welche n das Bildungsgesetz Gültigkeit besitzt.
Zu erst musst du dir die Zusammenhänge zwischen den Zahlen erschließen:
Es ist diesem Fall jedoch klar, dass der n. Wert jeweils das dreifache vom Vorgänger ist. Also Xn+1 = 3*Xn. ( Das kann man schnell überprüfen )
Nun haben wir 2 Möglichkeiten wie man Verfahren kann.
Möglichkeit 1:
Man erkennt direkt, dass es sich hierbei um: 2*3^n handelt. Also stellt man die Behauptung auf, dass Xn = 2*3^n ist und zeigt mittels Induktion, dass dies wahr ist.
Induktionsanfang: n = 0 ergibt sich X0 = 2 = 2*3^0 ( Anfang stimmt )
Als Induktionsvoraussetzung: Formel korrekt für n Element N0.
Induktionsschritt:
Xn+1 = 3Xn = 3*2*3^n = 2 * 3^(n+1) ---> Also stimmt unsere Behauptung.
Möglichkeit 2:
Man sieht den linearen verlauf und verwendet die Lösungsformel für die lineare Rekursionsgleichung 1. Ordnung.
Und das ganze hat dann die Lösung:
Xn =
c^n * b0 ,falls b1 = 0 ( Dieser Fall )
b0 + nb1 ,falls c = 1
c^n * b0 + (Cn-1 / c - 1) ,falls c = 0
b0 = x0 = 2
b0 ist in unserem Fall 2
Xn = cXn-1 + b1
---> c=3 und b1 = 0 in unserem Fall.
Für dein Beispiel ist die Lösung nach der Rekursionformel nun (da b1 = 0)
3^n * 2
#Nachtrag: Wenn man die Rekursiv definierte Folge nicht erschließen kann oder grade keine Lust hat, dann hilft einem
weiter. Das ist ein Nachschlagewerk für Zahlenfolgen.
Nein, gibt es nicht. Du sollst ja nicht das Bildungsgesetz
der zahlenfolge finden, sondern das, das der Autor
sich gedacht hat. Die Folge 2,6,18,54 kannst du mit
162 logisch fortsetzen, aber auch mit 73992 oder √5.
Es gibt zu jeder endlichen Zahlenfolge unendlich viele Algorithmen!
Hier die 5 einfachsten:
§1: Interpolationspolynom:
http://www.lamprechts.de/gerd/Mittelwerte.html
eingeben y[i]: 2,6,18,54
unten ablesen:
f(x)=2+x*16/3-pow(x,2)*4+pow(x,3)*8/3
=x*(x*(2*x-3)+4)*4/3+2
§2: auf der selben Seite steht 2 Zeilen tiefer der Quotient 2er Glieder:
Quot= y[i]/y[i-1]: 3,3,3,...
also eine primitive https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Folge
§3: weitere Funktionen hier am Beispiel der Modulofunktion (Divisionsrest):
f(x)=3 ^(x+4) mod 79 = pow(3,x+4) % 79
§4: Nachkommastellenalgorithmus
a=(e*49)/646 -> dann je 2 Nachkommastellen dieser irrationalen Zahl:
= 0.2 06 18 54 63 76 85 ...
Der Iterationsrechner rechnet alle 4 Algorithmen online vor:
http://www.lamprechts.de/gerd/Roemisch_JAVA.htm#x*(x*(2*x-3)+4)*4/3+2@Na=(E*49)/646;@N@Bi]=Fx(i);@Ci]=@P3,i)*2;aD[i]=@P3,i+4)%2579;@Ni%3E8@N0@N0@N#
{LINK endet erst mit N# und wird hier immer abgeschnitten!}
§5: trigonometrische Interpolation
Iterationsrechner Beispiel 135 +135
Ich könnte immer so weitermachen und Dir jede Stunde eine weitere Folge nennen, die mit den selben 4 Gliedern beginnt!
ABER Du gehst bestimmt zur Schule & Dein Lehrer will von Dir nur wissen, ob Du sein einziges Schubfach §2 richtig anwenden kannst...
