arithemetische Folge 2. Ordnung?
Wie würde die arithemtische Folge 2. Ordnung aussehen mit der Formel:
an := a0 + n * ã0 + (n(n-1)/2) *d
Beispiel Zahlenfolge: 1,7,17,31,49
Soweit bin ich jetzt gekommen:
1 7 17 31 49
6 10 14 18
2 2 2
Ich verstehe aber nicht wie die Formel dazu aussieht?
2 Antworten
Eine arithmetische Folge 2. Ordnung ist eine Folge, deren Differenzen zweiter Ordnung konstant sind. Das bedeutet, dass die Differenzen zwischen den Zahlen der Folge konstant sind und die Differenzen zwischen den Differenzen ebenfalls konstant sind.Die gegebene Formel lautet: an := a0 + n * ã0 + (n(n-1)/2) *dDabei steht an für die n-te Zahl der Folge, a0 für die erste Zahl der Folge, ã0 für die Differenz zwischen den ersten beiden Zahlen der Folge und d für die Differenz zweiter Ordnung.Um die Folge mit der gegebenen Formel zu berechnen, würdest du wie folgt vorgehen: Setze an = 1 und berechne a0: a0 = an - n * ã0 - (n(n-1)/2) * d = 1 - 1 * ã0 - (1(1-1)/2) * d = 1 - ã0 - 0 * d = 1 - ã0 Setze an = 7 und berechne ã0: ã0 = an - a0 - (n(n-1)/2) * d = 7 - 1 - (2(2-1)/2) * d = 7 - 1 - 2d Setze an = 17 und berechne d: d = (an - a0 - n * ã0)/(n(n-1)/2) = (17 - 1 - 3 * 7 + 1)/(3(3-1)/2) = (17 - 21)/3 = -4/3Damit hast du alle Parameter der Formel berechnet und kannst sie nun verwenden, um die gesamte Folge zu berechnen. Die Folge sieht dann wie folgt aus:a0 = 1, ã0 = 7 - 1 - 2d = 7 - 1 - 2 * (-4/3) = 7 - 1 + 8/3 = 25/3d = -4/3an = a0 + n * ã0 + (n(n-1)/2) * dan = 1 + 1 * 25/3 + (1(1-1)/2) * (-4/3) = 1 + 25/3 + 0 * (-4/3) = 1 + 25/3 = 10/3 = 3,3...an = 1 + 2 * 25/3 + (2(2-1)/2) * (-4/3) = 1 + 50/3 + 1 * (-4/3) = 1 + 50/3 - 4/3 = 46/3 = 15,3...an = 1 + 3 * 25/3 + (3(3-1)/2) * (-4/3) = 1 + 75/3 + 3 * (-4/3) = 1 + 75/3 - 8/3 = 67/3 = 22,3...usw.Die Folge lautet demnach: 3,3, 15,3, 22,3, ...
Bei den zweiten Differenzen hast du dich verrechnet, das gibt 4.
Eingesetzt in die Formel:
a(n) = 1 + n * 6 + (n(n-1)/2) * 4, oder vereinfacht,
a(n) = 1 + 4n + 2n^2