Zuordnungsvorschrift einer Zahlenfolge aufstellen?
Guten Abend,
ich habe folgende Zahlenfolgen gegeben:
-1,3,-5,7,-9,11,-13,15,-17...
und
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100...
und soll für jede eine Zuordnungsvorschrift angeben.
Durch welches Verfahren/ Vorgehen lässt sich so eine Zuordnungsvorschrift erstellen?
Für die erste Zahlenfolge dachte ich zuerst es sei an+1 = an + (-1)^an x 4n , aber das passt nicht für alle Zahlen der Folge.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank schon mal im Voraus!
5 Antworten
Bei Polynomfolgen kommt man mit Differnezen höherer Ordnung weiter.
Das trifft auf die 2. Reihe zu:
0. 1. 2. 3. Differenzen ~. Ordnung
----------------------------------------------
1
3
4 2
5 0
9 2
7 0
16 2
9 0
25 2
11 0
36 2
13 0
49 2
15 0
64 2
17 0
81 2
19
100
Die Differenzen 3. Ordnung verschwinden alle, damit haben wir ein Polynom (höchstens) 2. Grades. Damit führt der Ansatz
a_n = c_0 * n^0 + c_1 * n^1 + c_2 * n^2
zum Ziel. Die Koeffizienten c_0, c_1, c_2 berechnet man, indem man die Gleichung für ein paar n aufstellt und das lineare Gleichungssystem nach den c_k löst.
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Bei der 1. Folge haben wir es mit einer alternierenden Folge zu tun.
Beseitigen wir erst mal das Alternieren:
b_n := a_n * (-1)^n
damit ist (b_n) eine Folge von positiven Gliedern.
Hierfür führt Differenzenbildung auf ein Polynom 1. Grades.
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Bei anderen Folgen hat man Terme wie 2^n drin - da muss man dann "scharf hinsehen" oder einfach mal ausprobieren.
(Es gibt auch systematische Verfahren, die auch mit komplizerteren Folgen fertig werden, aber das gehört dann schon in die Hochschulmathematik nach dem Vordiplom.)
Nicht 1, sondern bei endlich vielen Gliedern ohne Randbedingung gibt es UNENDLICH viele! Nur bei Euch Anfängern reicht dem Lehrer, wenn Ihr die Grundrechenarten versteht.
a) kann man mit primitiven Worten ausdrücken: "ungerade Zahlen mit wechselnden Vorzeichen": a[n]=(-1)^(n+1)*(2*n+1)
{bei Wissenschaftlern beginnt Index n immer bei 0 }
Dann gibt es noch das Interpolationspolynom, was mit
http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html
-1+x*61742/105-pow(x,2)*445504/315+pow(x,3)*58576/45-pow(x,4)*27376/45+pow(x,5)*7132/45-pow(x,6)*1048/45+pow(x,7)*568/315-pow(x,8)*2/35
=(2*x*(x*(x*(x*(x*(x*((284-9*x)*x-3668)+24962)-95816)+205016)-222752)+92613)-315)/315 ergibt
Kontrolle per http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#Iterationsrechner
Fx: (2*x*(x*(x*(x*(x*(x*((284-9*x)*x-3668)+24962)-95816)+205016)-222752)+92613)-315)/315
Iter: aB[i]=Fx(i);aC[i]=pow(-1,i+1)*(2*i+1);
Abbruch: i>11
ergibt 2 Folgen, die erst ab Index 9 anders verlaufen. Wertetabelle:
i | aB aC
0 -1 -1
1 3 3
2 -5 -5
3 7 7
4 -9 -9
5 11 11
6 -13 -13
7 15 15
8 -17 -17
9 -5101 19
b) "Quadrahtzahlen": f(x)=(x+1)²
Ich könnte noch zig weitere Interpolationspolynome, Trigonometrische Interpolation, Nachkommastellen-Algorithmen, höhere Funktionen, Pseudozufalls-Iterationen... zusammenbasteln, aber das interessiert hier leider niemand.
Na dann Trigonometrische Interpolation für b):
aB[0]<1?pow(x+1,2):77/2-11/2*cos(x*PI)-1.52786*cos(x*PI/5)-9.1055728*cos(x*PI*2/5)-10.472136*cos(x*PI*3/5)-10.894427*cos(x*PI*4/5)-36.9322*sin(x*PI/5)-16.516583*sin(x*PI*2/5)-8.7185103*sin(x*PI*3/5)-3.8990363*sin(x*PI*4/5)
bei http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm
eingeben und man sieht die Übereinstimmung der Punkte (grün) mit der Quadratfunktion (rot):
http://lamprecht.bplaced.net/Bilder/TrigonometrischeInterpolation.png
Die minimalen Abweichungen zum perfekten Ganzzahlergebnis kann man bei Bedarf per round(f(x)) runden...
Andere Algorithmen auch noch?
Gern, wobei mir die Integerreihen lieber sind, für welche schon OEIS eine reichhaltige Quelle ist.
1. Negierte vorzeichenbehaftete Nenner der Leibnitz-Reihe für pi/4
2. Element 10 bis 19 der Reihe der Quadrate der Summe der Dezimalstellen des Elements
1.) Die Folge der ungeraden Zahlen ist:
an = 2n-1
Dazu dann noch die abwechselnden Vorzeichen:
an = (-1)^n • (2n-1)
2.) Das sind die Quadratzahlen:
an = n²
Hinweise zur Ergänzung:
an = 2*n ergibt die geraden Zahlen, also 2, 4, 6, ...
2*n - 1 sind dann die ungeraden Zahlen 1; 3; 5; ...
alternierende Vorzeichen bekommst du mit
(-1)^n (beginnend mit - und dann plus => bei dieser Aufgabe)
und mit
(-1)^(n+1) (beginnend mit + und dann minus)
1.(2n-1)*(-1)^n
2.n^2
Falsch.