Wie ist es möglich, Werte für Sinus und Kosinus von Hand zu berechnen?
Hallo zusammen,
mein Mathe-Nachhilfeschüler (10. Klasse Gymnasium) hatte in einer Klassenarbeit eine Aufgabe, bei der ich selbst nicht so genau weiß, was verlangt war.
Die Aufgabe lautete "Bestimme die folgenden Werte anhand des Einheitskreises exakt." (Evtl. war der Wortlaut etwas anders.)
Die zu berechnenden Werte waren dann sin(45°), cos(120°) und cos(3/2pi). (Evtl. war es auch sin(120°), da bin ich nicht mehr sicher.)
Ich verstehe nicht ganz, was hier verlangt war. Sollten die Winkel im Einheitskreis eingezeichnet und dann die Seiten ausgemessen werden? Aber warum dann "exakt"?
Oder sollte man erkennen, dass z.B. bei 45° beide Katheten des Dreiecks gleich lang sind und daraus mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden? Aber wie sollte das dann so einfach bei 120° gehen? Wird da so eine große Erfahrung der Schüler vorausgesetzt? Oder muss man in der Zeichnung auf der x-Achse den Wert 0,5 ablesen? Aber was ist daran dann wiederum "exakt"?
Oder denke ich zu kompliziert? Gibt es vielleicht noch eine weitere Möglichkeit, das exakt zu berechnen? Es ist ja vermutlich kein Zufall, dass so einfache Werte für die Winkel gewählt wurden...
Leider hat mein Nachhilfeschüler zur Zeit kein Mathebuch. Deshalb kann ich auch darin nicht nachschauen, wie das in der Schule gerechnet wurde...
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe. Viele Grüße!
5 Antworten
Hallo,
im Einheitskreis ist die Hypotenuse stets gleich 1 (wenn es um Sinus und Kosinus geht).
Der Winkel ist sozusagen der Zentriwinkel, die Ankathete liegt auf der waagerechten Achse, die Gegenkathete auf der senkrechten. Zwischen den beiden Katheten liegt natürlich der rechte Winkel.
Wenn Du nun einen Sinus von 45° hast, dann bedeutet dies, daß Du es mit einem gleichschenkligen und rechtwinkligen Dreieck zu tun hast (Kreismittelpunkt, Abschnitt auf der x-Achse, dazugehöriger Abschnitt auf einer Parallele zur y-Achse.
Beide Basiswinkel haben demnach 45° und die Katheten sind gleich lang.
Du hast also ein halbes Quadrat, bei dem die Hypotenuse (1) der Diagonale entspricht.
Da die Katheten gleich lang sind, gilt nach dem Satz des Pythagoras:
2a²=1 (a=Kathete).
a²=1/2
a=Wurzel (1/2)
Dieser Wert ist demnach die Länge der Gegenkathete und der Ankathete im Einheitskreis und damit Sinus und Kosinus, weil wegen Hypotenuse=1 die Länge der Gegenkathete dem Sinus, die Länge der Ankathete dem Kosinus entspricht.
Bei einem Winkel von 30° kannst Du durch Spiegelung an der x-Achse ein gleichseitiges Dreieck erzeugen und die Stücke entsprechend berechnen.
Herzliche Grüße,
Willy
Trotzdem nicht einfach, auf die Idee zu kommen...
Es ist ja vermutlich kein Zufall, dass so einfache Werte für die Winkel gewählt wurden...
Eben. Wenn man das "Bildungsgesetz" der Funktionswerte kennt und den Einheitskreis visualisieren kann, dann weiß man, welche Werte sich bei bestimmten Winkeln ergeben (müssen). Siehe dazu beispielsweise einmal https://www.quora.com/Why-does-cos-120%C2%B0-1-2-How-does-one-work-it-out-without-a-calculator
Hm, ok. Danke. Dann also doch wie ich vermutet hab. Einfach kluge Annahmen treffen (z.B. bei 45° ->x=y) und dann rechnen.
Exakt geligt es nur mit ganz wenigen Winkeln, nämlich da, wo man die Bezüge im Dreieck im Einheitskreis mit dem Pythagoras errechnen kann. Das trifft auf die gegebenen Winkel zu.
Dabei muss man dann noch √2 und √3 als exakte Werte anerkennen (sie wären ja im Notfall mit dem Höhensatz konstruierbar).
Du liest die Werte nicht aus der Zeichnung ab, sondern stellst sie nur bis zu den Werten
0,5 oder 1/2 √2
oder so etwas in der Art fest.
Du musst die Definition von Sinus und Cosinus kennen und außerdem wissen, dass im Einheitskreis x²+y²=1 gilt (Pythagoras). Und schon kann es losgehen...
Also doch wie ich vermutet hab. Im Prinzip Werte im Einheitskreis ablesen und dann ein bisschen mit Pythagoras rumrechnen. Nur mich irritiert, dass da ausdrücklich "exakt" steht. Ablesen ist meiner Ansicht nach nicht exakt.
Aber vielleicht in dem Fall schon, weil für die gegebenen Winkel eh schöne Werte rauskommen.
1.) Winkel der Größen 90° , 45° , 60°, 30° kann man exakt konstruieren (nur mit Zirkel und Lineal, ohne Winkelmessung vom Geodreieck !). Wie ?
2.) Nimm ein (exakt konstruiertes) Dreieck mit den Winkeln 90°, 45°, 45° .
Nimm für die Hypotenuse den Wert 1 und berechne (mittels Pythagoras) die beiden Katheten. Dann kannst du die Werte für sin(45°), cos(45°), tann(45°) alle exakt (mittels einer Quadratwurzel) ausdrücken.
3.) Mach dasselbe für ein Dreieck mit den Winkeln 90°, 60°, 30° !
Die Rechnung für 45° ist genau das, was ich vermutet hab.
Aber danke für den Tipp mit der Spiegelung an der x-Achse für 30°. Darauf bin ich nicht gekommen. 2x30° = 60° -> Gleichseitiges Dreieck.
Aber das ist ja schon sehr tricky...