Wie ist es möglich die Winkel der Diagonalen eines symmetrischen Trapezes zu berechnen?
3 Antworten
Ich würde eine durch Punkt C laufende, zu a senkrecht stehende Linie einzeichnen. Der Punkt A0 wäre dann jener, wo diese senkrechte Gerade a schneidet. Diese zu a senkrechte Gerade bezeichne ich als t.
Das ergibt ein rechtwinkliges Dreieck (A, A0, C) linksseitig von t und ein rechtwinkliges Dreick (A0, B, C) rechtsseitig von t.
Aus a, c und b (oder d) lässt sich die Höhe h des Trapezes mit dem Pythagoras bestimmen. Die Strecke g=(A bis A0) entsprcht g=(a - (a-c)/2 ).
Hat man g und h, kann man den Winkel C-A-B (=α) berechnen. Es gilt α = ArcTan(h/g). Der Winkel A-C-A0 (=β) entspricht 180 - α. Wenn man β einmal kennt, kommt man leicht auf den gesuchten Winkel ε. Der Gegenwinkel (ich taufe ihn δ) befindet sich nämlich in einem gleichschenkligen Dreick, dessen "Boden" die Gerade t ist und dessen Spitze den Winkel δ enthält. Die beiden gleich grossen übrigen Winkel in diesem Dreieck entsprechen β.
Ich habe somit als Lösung erhalten (habe aber ziemlich schnell gerechnet, Flüchtigkeitsfehler nicht ausgeschlossen; Gradmass angenommen)
ε = 360 - 2*ArcTan( √(b^2- ((a-c)/2)^2 ) / (a - (a-c)/2 ) )
Mit Vektorrechnung und der bekannten Formel zur Berechnung von Winkeln zwischen zwei Vektoren würde es wohl einfacher gehen...
zu a)
Die Seite b (b = d = a) und die Höhe h durch C auf AB bilden zusammen mit dem rechten Höhenfußpunktabschnitt ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel CBA = α. In diesem Dreieck gilt:
((a / 2) - (a / 6)) / a = cos(α) , da c = a / 3 und c / 2 = a / 6
cos(α) = 1 / 3
α = 70,5288°
α = ε
Warum ist das so?
1) Winkel DAB = Winkel CBA = α, da gleichschenklig
2) Winkel BAD = Winkel CAB = Winkel DBA = Winkel ADB, da a = b = d
3) ε = 180° - 2 * (180° - α) / 2 = α (Dreieck A,B,Schnittpunkt Diagonalen)
Schau dir das an für Teil a). Und b) versuch selbst und gehe dabei ähnlich vor. Bei solchen geometrischen Aufgaben immer Skizzen machen und Hilfslinien einzeichnen und logische Hilfsmaße. Das hilft immer um auf eventuelle Lösungswege zu kommen.
