Wie genau kann ich das mittels Induktion lösen?

Ich versteh nur nicht wie ich das lösen soll. Ich hab das umgeformt. Die IV eingesetzt und runtergerechnet. Ich komme nur durchgängig nach 4 versuchen (auch mit hilfe meiner Kollegen aufs selbe ergebnis)

nur das macht für mich keinen sinn.

Maybe kann mir einer von euch helfen

Answer 1

[FataMorgana2010]

Das geht ganz wunderbar auf: $\sum_{k=1}^{n+1} k z^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1} + (n+1) z^n$ Da setze ich jetzt die Annahme ein:

$=\frac{1- (n+1)z^n + nz^{n+1}}{(1-z)^2} + (n+1) z^n$ und bringe das auf einen Nenner: $=\frac{1- (n+1)z^n + nz^{n+1}+(n+1) z^n (1-z)²}{(1-z)^2 }$ Den letzten Summanden multipliziere ich ein bisschen aus:

$=\frac{1- (n+1)z^n + nz^{n+1}+(n+1) z^n (1-2z+z^2)}{(1-z)^2 }$ $=\frac{1- (n+1)z^n + nz^{n+1}+(n+1) z^n-2z(n+1) z^n+z^2(n+1) z^n}{(1-z)^2 }$ ein bisschen hübscher

$=\frac{1- (n+1)z^n + nz^{n+1}+(n+1) z^n-2(n+1) z^{n+1}+(n+1) z^{n+2}}{(1-z)^2 }$ Zwei Summanden heben sich gleich weg:

$=\frac{1 \mathbf{-(n+1)z^n} + nz^{n+1}+\mathbf{ (n+1) z^n}-2(n+1) z^{n+1}+(n+1) z^{n+2}}{(1-z)^2 }$ bleibt

$=\frac{1 + nz^{n+1} - 2(n+1) z^{n+1}+(n+1) z^{n+2}}{(1-z)^2 }$ Hinten und vorne steht schon was ich haben will, in der Mitte klammere ich aus:

$=\frac{1 + (n - 2(n+1)) z^{n+1} +(n+1) z^{n+2}}{(1-z)^2 }$ und da

$(n-2(n+1)) = n -2n - 2 = - n - 2 = -(n+2)$ ist, habe ich

$=\frac{1 -(n+2) z^{n+1} +(n+1) z^{n+2}}{(1-z)^2 }$ was genau das ist, was herauskommen soll.

Comments

[CarinaSchoppe]

hey, danke dafür ich hab einmal meine rechnung mit eingefügt bis zu dem punkt an dem sich die elemente gegenseitig aufheben bzw. ich entsprechend anfing zu streichen.
Ich bin das einfach mal durchgegangen und ich weiß einfach nicht wo ich den fehler mache. Meine Kollegen auch nicht könntest du mir den Gefallen tun und einmal drüberschauen

[FataMorgana2010]

@CarinaSchoppe

Du musst ja zu dem großen Bruch den Term

(n+1)z^n

hinzaddieren. Dabei vergisst du, dass du das zuerst auf den gleichen Nenner bringen musst, d. h. da muss AUF DEM BRUCHSTRICH nicht stehen

+ n z^n + z^n

sondern

+ (nz^n + z^n)(1-z)²

[FataMorgana2010]

@FataMorgana2010

Ach ne, das schreibst du nur so komisch, sorry. Jetzt habe ich den Fehler: Von der ersten zur zweiten Zeile willst du auf der rechten Seite ausmultiplizieren:

(n+1)z^(n+2)

Das ist

n z^(n+2) + z^(n+2)

Du bekommst aber heraus

n z^(n+1) + z^(n+2)

Und damit hast am Ende links

n z^(n+2) über und rechts

n z^(n+1)

[CarinaSchoppe]

@FataMorgana2010

danke 3 idioten die das nicht merkten... wow. du rettest uns den tag