Welche "Zahlengruppen" gibt es?
Also ich meine es gibt ja die Natürlichen Zahlen, die Ganzen Zahlen, die reellen Zahlen mit den irrationalen Zahlen und danach die komplexen Zahlen.
Was kommt danach, also wie viele Zahlengruppen gibt es dann noch und wie heißen die.
Mfg. Anja (13)
P.S. Gibt es einen Fachbegriff für diese Zahlengruppen? Zahlengruppe hört sich nicht so richtig an...
4 Antworten
Das worüber du Sprichst, sind Zahlenmengen.
Es gibt unendlich viele Zahlenmengen von denen auch unendlich viele benannt sind aka wir können sie nicht auflisten.
Das was du nennst sind in speziellen Zahlenmengen und Übermengen von Zahlenmengen (die Übermenge Ü einer Menge M ist eine Menge die M enthält) aka natürliche Zahlen sind ganze Zahlen, welche wiederum rationale Zahlen sind, welche wiederum reelle Zahlen sind, welche wiederum komplexe Zahlen sind, ...). Auch davon gibt es unendlich viele.
Ich definiere in folgende Mengen vereinfacht, damit man ungefähr weiß was das ist.
SchuleIn der Schule lernt man rechnen mit:
- Natürliche Zahlen N ("Zahlen mit den man Zählt" aka 1, 2, 3, 4, 5, ... und manchmal die 0)
- Primzahlen (Natürliche Zahlen die nur durch 1 und sich selbst Teilbar sind)
- Ganze Zahlen Z (natürliche Zahlen, natürliche Zahlen mal -1 und 0)
- Gerade Zahlen (ganze Zahlen die mit 2 Teilbar sind)
- Ungerade Zahlen (ganze Zahlen die nicht mit 2 Teilbar sind)
- Rationale Zahlen Q (Sind p und q (ungleich 0) ganze Zahlen, dann sind rationale Zahlen der Form p/q)
- Irrationale Zahlen I bzw. R \ Q (Nichtperiodische unendlichelange Dezimalbrüche)
- Reelle Zahlen R (rationale und irrationale Zahlen)
Man lernt auch minimal was über:
- Infinitesimalzahlen (von Betrag her unendlich kleine Zahlen die nicht 0 sind)
Es gilt:
Zahlen mit imaginäreren Einheiten deren Quadrat -1 ergibt oder Zahlen die den reellen Zahlen Ähneln - du siehst, dass es wage definiert ist
Zu ihnen gehören z.B.
- Reelle Zahlen R
- Imaginäre Zahlen I (Zahlen der Form bi mit b als reelle Zahl und i²=-1)
- Komplexe Zahlen C (Zahlen der Form a+bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i²=-1 gilt | Verwendungen findest du überall - ist unter anderem eines der mächtigsten Hilfsmittel der Mathematik)
- Quaternionen H (Zahlen der Form a+bi+cj+dk mit {a,b,c,d} in R und i²=j²=k²=ijk=-1 aka sind bezüglich der Multiplikation nicht Kommutativ | Verwendungen z.B. in Beschreibung räumlicher Rotation in 4d und 3d)
- Oktanionen O ( Zahlen der Form a+bi+...+h mit {a,b,...,h} in R und i(j(k(m(n(l(op))))) aka sind bezüglich der Multiplikation nicht Kommutativ und nicht Assoziativ | Beschreibung von Strings in Raum in manchen Physikalischen Modellen)
- Sedenion S (Du kannst dir denken wie das aussieht + Nullteiler)
- ... (Zahlen generiert durch da Verdopplungsverfahren | das gleiche wie bei den Oktanionen)
- Duale Zahlen D (Zahlen der Form a+bε, mit {a,b} in R und ε²=0≠ε | Anwendung: In Schrauben-Theorie)
- Duale Quaternionen DQ (Zahlen der Form a+bi+cj+dk+eiε+fiε+giε, mit {a,b,c,d,e,f,g} in R, i²=j²=k²=ijk=-1 und ε²=0≠ε | Anwendung: scharfe und effiziente Darstellung von 3D modellierten Objekten um Raum)
- Duale ... (eine Zahlen aus den Verdopplungsverfahren addiert mit den Zahlen aus den Verdopplungsverfahren mal ε wobeik ε²=0≠ε )
- ...
- Zahlen der Clifford-Algebren (das werde ich nicht definieren)
- Zahlen der Exterior-Algebren (das werde ich nicht definieren)
- Zahlen der Geometrischen Algebren (das werde ich auch nicht definieren)
- ...
- Bi... (z.B. bikomplexe Zahlen sind hyperkomplexe Zahlen mit komplexen Koefizienten)
- Split- (z.B. Split-Komplexe Zahlen sind hyperkomplexe Zahlen bei denen mindestens eine imaginäre Einheit zum Quadrat 1 ergibt aber nicht 1 ist | Anwendung: Vereinfachte Darstellungen von trigonometrischen Identitäten)
- ...
- Multikomplexe Zahlen (Zahlen der Form a+biₓ mit {a,b} in C, x in {n, m} und iₙ²=-1 mit iₙ*iₘ=iₘ*iₙ)
- ...
- und viele viele mehr
Es gilt:
...
Unendlichkeiten
- Transfinite Zahlen (Zahlen die nach den finiten bzw. endlichen Zahlen kommen)
- Hyperreelle Zahlen (vereinfacht: Unendlich große Zahlen angegeben in Zahlen mit unendlich großen Einheiten und unendlich kleinen)
- Surreale Zahlen (reelle Zahlen R, transfinite Zahlen und unendliche Zahlen)
- Sur... (Surrelle Zahlen mal Zahlen einer Menge ...)
- Aleph-Zahle, Beth-Zahlen, Epsilon-Zahlen (bestimmte Arten von Unendlichkeiten)
Visualisierung:
hyperreell
surreal
- x-adische Zahlen (werde ich nicht definieren | Anwendung: Effizientes finden von Zahlen die in hoher Ordnung mit einer anderen Zahl teilbar sind)
- Fuzzy Zahlen (Unscharfe Zahlen, die nicht einen festen Wert besitzen sondern eher eine Menge an möglichen reellen Werten, welche gewichtet sind | Anwendung in Fuzzy-Mengen)
- ...
- Kardinalzahlen (Mächtigkeiten von Mengen | Beschreiben von Mengen)
- Algebraische Zahlen (komplexe Nullstellen von Polynomfunktionen mit rationalen Koeffizienten | Anwendung: Zahlentheorie)
- Transzendente Zahlen (Komplexe Zahlen die nicht algebraische zahlen sind | Anwendung: Zahlentheorie)
- ...
Ein Großteil davon lernt man auch nicht in Studium.
Es ist zwar sehr nützlich, aber in Studium lernt man halt adere Wichtige Sachen, besonders da viele Zahlenmengen nur bestimmten kleinen Nischen-Gebieten der Mathematik Anwendung finden.
Dafür triffst du in Studium andere Super-Coole Sachen, wie Differentialgleichungen vieler Arten an.
Welche Zahlenmengen man im Studium lernt, hängt vor allem von der Spezialisierung ab. Aber es gibt wohl kaum Studenten, die sich mit all diesen Mengen beschäftigt haben. Teilweise lernt man in den Übungen auch Beweise auf konstruierten Zahlenmengen. Was man aber noch lernen kann, sind solche Dinge wie unendlich dimensionale Vektorräume oder Banachräume. Das sind auch Dinge, die nicht in der Schule gelehrt werden. Wenn man mit Vektoren rechnet, dann tut man dies in der Schule mit 2 oder 3 Dimensionen. Und Banachräume sind für die Schule zu abstrakt.
Das ist löblich. Und ich will dich grundsätzlich auch motivieren dies zu tun. Aber ich kann dir nur sagen, dass ich mit 9 Jahren schon das hexadezimalsystem gelernt habe und lange Zeiten Aufgaben der nächsten Schulklasse lösen konnte. Aber das Mathestudium insgesamt wäre mir dann doch zu komplex gewesen. Ich habe einen Master in der Informatik und hatte zum Schluss Mathematik als Nebenfach. Aber ich verstehe bis heute noch einige Sachen aus den ersten drei Semester des Mathematikstudiums nicht. Also mach es ruhig, aber ist wird selbst dann hart wenn du wirklich gut bist.
Nun, mit 9 war ich noch auf meine Jahrgangsstufe fixiert, aber mittlerweile habe ich keinerlei Probleme mit Stoff der 9. bis 10. Klasse beispielsweise quadratische Gleichungen und Funktionen. Besonders die Funktionen haben es mir angetan. Ich darf am Samstag sogar in ein Mathecamp, wo wir endlich den Stoff der höheren Klassen lernen dürfen und uns keiner schief anschaut, wenn wir uns darüber austauschen.
Wenn ich hier meine Mathelehrer frage ob wir die Polynomdivision benutzen dürfen, wenn Gleichungen in Zähler und Nenner stehen, um den Bruch zu vereinfachen, anstatt beide Gleichungen nur so weit zu vereinfachen, bis es nicht mehr weiter geht, dann schauen sie mich alle doof an und die meisten Lehrer lachen nur.
Oder wenn ich anderen aus der 8. oder 9. bei den Hausaufgaben helfen will, dann sagen die Betreuer bei uns in der Nachmittagsbetreuung nur: "Geh spielen kleines, das kannst du ja nicht wissen, du hattest es noch nicht in der Schule!" Und so weiter und so fort.
Aber wenn sie auch immer eine Jahrgangsstufe über ihrem Alter waren wissen sie sicher, was ich meine, und manchmal könnte ich solchen Leuten den Hintern versohlen, wenn sie mir das Gefühl geben dumm zu sein, obwohl die Betreuer die Aufgabe selbst nicht gebacken kriegen.
Als Beispiel dafür eine Frage, die ich letztens gestellt habe mit einem Kreis mit Radius 10, ein Radfahrer fährt das in 6 Sekunden und die Frage ist wie schnell fährt er. -> Meine Antwort waren ca. , wegen Pi, 18, 84 km/h. Ich wollte es erklären, aber sie hat es mich nicht erklären lassen! Der Freundin, der ich es erklären wollte hat sie es dann FALSCH erklärt und in ihrem nächsten Test hatte sie eine 4-...
Und bei so etwas reißt einfach mein Geduldsfaden.
Apropos, denken sie, ich darf ihr das unter die Nase reiben, dass ich Recht hatte, wenn die Schule wieder anfängt?
Echt beschissen, wenn sie mit einem umgehen wie mit einem kleinen Baby. Kann dich da schon verstehen, wie es dir da geht.
Nein, unter die Nase reiben ist keine gute Idee, weil das nur noch zu weiteren Konflikten führt. Behalte das einfach für dich und denk einfach, dass du im Vorteil bist, auch wenn du das nicht so zu spüren bekommst.
Und informiere mich, wenn du dich mit Grenzwerten und Anleitungen beschäftigst. 😉
Ui, damit habe ich mich noch nicht so viel befasst. Das einzige was noch hängen geblieben ist ist die Schreibweise und diese Sätze:
Wenn x gegen minus Unendlich geht, geht die Funktion x Quadrat gegen plus unendlich.
Und:
Wenn x gegen plus unendlich geht, geht die Funktion gegen plus unendlich.
Aber ich bin immer offen neues zu lernen, wenn sie mir was darüber erzählen können, dann nur zu, ich würde mich freuen!
Bitte duze mich, ich finde das sehr ungewöhnlich, im Forum gesiezt zu werden. Naja, die Analysis beschäftigt sich halt mit dem Verhalten im "Kleinen" bzw. im Unendlichen. Da ist es halt interessant, Grenzwerte zu betrachten. Vielleicht guckst du mal nach folgenden Stichworten bei YouTube:
- Tangente
- Ableitung
- Weg, Zeit und Geschwindigkeit
Die Ableitung gibt immer eine Art Änderungsrate an. Wenn jemand einen bestimmten Weg in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat, hat er eine Geschwindigkeit gehabt. Die Geschwindigkeit ist z.B. die Ableitung der Funktion des Weges nach der Zeit. Somit hast du gleich einen Anwendungsfall in der Physik. Es gibt aber auch welche in der Wirtschaft z.B.
Wie differenziert man unter dem Integralzeichen?
Ich würde das ZahlenMENGEN nennen. Man kann auch Gruppe oder Körper sagen, aber das hat dann eine ganz bestimmte mathematische Bedeutung, die nicht in allen Fällen zutrifft.
Nach den komplexen Zahlen kommen die sog. Quaternionen, das ist ähnlich zu den komplexen Zahlen aber mit den 3 nicht-realen Einheiten i, j, k wo es bei komplexen Zahlen nur das i gibt. Quaternionen können zur Darstellung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden, kommen aber selten vor.
Dankeschön. Eigentlich finde ich, dass man die komplexen Zahlen in der Schule lernen sollte... Es macht ja wohl gar keinen Sinn quadratische Gleichungen zu lösen, wenn unter der Wurzel etwas negatives herauskommt. Die Lehrer sagen dann, das geht nicht. Aber so schwer ist das doch gar nicht...
Man kann ihnen in der Schule (Abitur) begegnen, z.B. in der Physik beim eschreiben von Wechselstrom.
Man umschreibt sie dort einfach nur, da man für dieses eine Semester keine neue Zahlenmenge einführen will (lohnt sich für 1 Semester nicht wirklich und würde einige überfordern).
Es macht aber auch Sinn komplexe Zahlen nicht einzuführen, denn wenn man mit denen dann noch weiter Rechnen will kommt noch dazu das viele Regeln die vorher für reelle Zahlen galten aber nicht mehr für komplexe Zahlen stimmen und viele sind bereits mit den Regeln für reelle Zahlen an der Grenze mit den was sie leisten können.
Ich weiß, was du meinst. aber die Grundlagen kann man doch wenigstens erklären. Dass i^2 gleich -1 ist, sie aus einem real und Imaginärteil bestehen und wie man damit wenigstens die Grundrechenarten ausführt...
Die Lehrer haben keine Zeit dazu . Denn die MENGE C ist nicht so einfach wie manche denken ( i² = -1 ) ist noch das wenigste
Ja, klar. Aber es ist das relevante für die quadratischen Gleichungen. Mehr müsste man ja gar nicht zeigen.
Es gibt noch die
- Rationalen Zahlen
- Quaternionen
- Ordinalzahlen
Innerhalb der irrationalen Zahlen gibt es noch die transzendenten Zahlen.
Dann gibt es auch noch Zahlensysteme wie die
- Binärzahlen
- Hexadezimal zahlen
Aha, gut zu wissen, danke. und an welcher Stelle kommen die?
Quaternionen sind den komplexen Zahlen übergeordnet. Ordinalzahlen erweitern den Unendlichkeitsbegriff. Rationale Zahlen beinhalten die ganzen Zahlen und bilden erst mit dem irrationalen Zahlen zusammen die reellen Zahlen. Transzendente Zahlen sind besonders Zahlen innerhalb der irrationalen Zahlen, weil sie nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Zahlen sein können.
Computer arbeiten mit Binärzahlen. Indirekt auch mit hexadezimalen Zahlen. Stell dir vor, es gibt Aliens, die pro Hand nur einen Finger haben, dann würden die mit Binärzahlen arbeiten. Hätten Die acht Finger pro Hand, würden sie mit hexadezimalen Zahlen arbeiten. Wir haben fünf Finger pro Hand und rechnen daher mit Dezimalzahlen. Dezi = 10 = 10 Finger.
Diese Zahlenbereiche gibt es:
- Natürliche Zahlen ℕ
- Ganze Zahlen ℤ
- Gebrochene Zahlen ℚ+
- Rationale Zahlen ℚ
- Irrationale Zahlen
- Reelle Zahlen ℝ
Oh, von den gebrochenen Zahlen wusste ich nichts. Sind das einfach Brüche?
Und wie geht es nach den reellen Zahlen weiter?
Achso gut. Wir haben das einfach alles als rationale Zahlen gelernt, deshalb war ich mir nicht sicher und habe vorsichtshalber nachgefragt.
Das sind alle mir bekannten Zahlenmengen, mehr habe ich im Abi nicht gelernt.
Achso, schade. Dass hernach noch die komplexen Zahlen kommen weiß ich. Aber mehr nicht.
Aber trotzdem vielen Dank. Neues gelernt habe ich ja trotzdem. :)
Die Brüche gehören auch allgemein zu den rationalen Zahlen, aber sind halt noch extra unterteilt, deswegen werden sie mit ℚ+ benannt & rationale allgemein als ℚ.
Nichts wofür du dich entschuldigen musst, alles gut.Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen.
Wow, vielen Dank, dass sie sich die Zeit genommen haben mir das alles zu erklären und zu veranschaulichen.
Ich habe mit Sicherheit nicht alles verstanden, was über die komplexen Zahlen hinaus geht, doch wenn man es im Mathematik Studium lernt werde ich es früher oder später lernen und ich freue mich schon drauf!
Also wie gesagt, vielen, vielen Dank. Da wird wohl kaum eine Antwort mithalten können.