Unendlich viele Zahlen zwischen 1 und 2?
Zwischen den Zahlen 1 und 2 liegen ja unendlich viele weitere Zahlen, also 1,1;1,2;1,3; etc, und dann noch 1,01;1,02 etc, es hört ja nicht auf und somit liegen unendlich viele Zahlen zwischen 1 und 2. Wie nennt man dieses Prinzip das zwischen zwei natürlichen ganzen Zahlen unendlich viele Kommazahlen liegen?
3 Antworten
Hallo Kekspirat,
es gibt nicht nur unendlich viele Zahlen zwischen 1 und 2, es gibt überabzählbar viele in jedem endlichen Intervall.
Es gibt nämlich mehrere ,,Unendlich"s, von denen die Menge der Natürlichen Zahlen die ,,kleinste" ist.
Als abzählbar unendlich bezeichnet man eine Menge, die man 1:1 auf die Natürlichen Zahlen abbilden, sozusagen durchnummerieren kann. Natürlich wird man nie fertig, aber man kann Vorschriften formulieren, die genau sagen, wie es weitergeht.
Die Rationalen Zahlen (Zahlen die sich als Bruch zweier Ganzer Zahlen darstellen lassen) liegen dicht, d.h., egal, wie eng zwei Rationale Zahlen benachbart sind, es liegen immer unendlich viele Rationale Zahlen dazwischen.
Man sollte daher meinen, es sollte unendlich viel mehr Rationale Zahlen aus Natürliche Zahlen geben, aber es gibt eine Methode, die Brüche durchnummerieren. Da beide Mengen unendlich sind, gehen die Natürlichen Zahlen nie alle.
Trotzdem gibt es tatsächlich größere ,,Unendlich"s. So konnte CANTOR mit seinem Diagonal-Argument zeigen, dass es bei den Reellen Zahlen nicht mehr gelingt, sie 1:1 auf die Rationalen bzw. die Natürlichen Zahlen abzubilden.
Zu den Reellen Zahlen gehören die Rationalen Zahlen, die anderen Algebraischen Zahlen - das sind Zahlen, die Lösungen von Gleichungen der Form
(1) an·xn + an–1·xn–1 + … + a1·x + a0 = 0
mit Natürlichen bzw. Rationalen Koeffizientem ai (i=1,…,n) sein können, und die Transzendenten Zahlen wie π oder die EULERsche Zahl e. Erst diese machen die Reellen Zahlen überabzählbar.
Dichteeigenschaft der reellen Zahlen
Du meinst etwas anderes: Die Rationalen Zahlen enthalten keinen inneren Punkt, keinen Punkt mit einer nur aus Rationalen Zahlen bestehenden Umgebung.
Dasselbe gilt aber auch für die irrationalen Zahlen. Deshalb liegen die Rationalen Zahlen in den Reellen Zahlen sehr wohl dicht, eine Reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch eine rationale Zahl annähern.
Nein, meine ich nicht ^^ ich meinte nur, dass die Eigenschaft "zwischen zwei Zahlen liegt immer eine dritte weitere Zahl" nichts mit Dichte zu tun hat. Da wäre erstmal die Frage, wie man "zwischen" definiert (dafür braucht man ja dann mindestens eine Totalordnung, die dann aber nichts mit zugrundeliegenden Metriken/Normen zu tun haben muss). Für Teilmengen von reellen Zahlen betrachtet man topologische Eigenschaften in der Regel innerhalb der reellen euklidischen Metrik und nicht in der auf diese Menge induzierten euklidischen Metrik.
Unendlichkeit?
Nein, Dichtheit. Die Natürlichen Zahlen sind auch unendlich viele, und dasselbe gilt für die Kehrwerte der Natürlichen Zahlen im Intervall ]0,1] - aber sie liegen nicht dicht.
Hat damit nichts zu tun, denn zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen liegt auch immer eine rationale Zahl. Die rationalen Zahlen liegen aber nirgendwo dicht (außer in sich selber).