Wie beweise ich das Volumen einer Pyramide?
Hallöchen, ihr coolen Socken.
Aus dem Lehrbuch weiß ich/man, dass das Volumen einer Pyramide 1/3Gh lautet. Mich würde der dazugehörige Beweis interessieren. Ich kenne einen mit diesen Würfel, der wird dann in 6 gleich große Pyramiden geteilt und daraus lässt sich durch Umformungen 1/3Gh herleiten, aber (!) die Pyramiden haben die Kantenlänge a und die Höhe a, d.h. für jede Pyramide hat man es dann nicht bewiesen, oder? ☺
Wie lässt sich also für jede Pyramide beweisen, dass das Volumen mit 1/3Gh beschrieben werden kann?
6 Antworten
Hi,
das musste ich meiner Klasse mal vorführen :D
Also. Du stellst dir bitte das Prisma im Anhang vor. Okay? In diesem Prisma sind drei Pyramiden. Ich hatte das Modell selbst in der Hand und konnte es auch rumgeben, das hat die Sache etwas erleichtert ^^
Zunächst wird gezeigt: Das Volumen der drei Pyramiden im diesem Prisma ist gleich groß. Dazu bedienen wir uns lediglich eines Satzes: Der Satz des Cavalieri.
Der Satz des Cavalieri besagt: Haben zwei Körper die gleiche Grundfläche und die gleiche Höhe, so haben sie auch das gleiche Volumen.
Das ist der Satz des Cavalieri in der einfachen Form. Vollständig kommt dann was mit Ebenen, in etwa so: Ist bei zwei Körpern, die von zwei zueinander parallelen Ebenen begrenzt werden, die Schnittfläche durch die Schnittebene in jeder Ebene gleich groß, so haben die Körper das gleiche Volumen.
Anschaulich stellst du dir einen Kartenstapel vor. Der ist gerade und hat die Form eines Quaders. Nimm einen zweiten Kartenstapel mit exakt gleich vielen Karten und baue einen schiefen Quader daraus. Sie sind gleich hoch, das ist logisch. Man nehme jetzt mal bei beiden Stapeln 5 Karten weg. Die Schnittfläche ist gleich groß. Egal, wie viele Karten du jeweils abnimmst, das ist immer der Fall. Daraus ergibt sich dann die vereinfachte Form. Wenden wir die mal auf unseren "Kartenfall" an: Logisch ist, dass sich das Volumen im ersten Stapel, der ja nur die Form eines geraden Quaders hat, einfacher berechnen lässt. Wir benötigen Grundfläche und Höhe. Da das Volumen beim zweiten Stapel das gleiche ist, müssen ja hier die Höhen übereinstimmen, da der Satz des Cavalieri dies voraussetzt. Und damit muss schlussendlich auch die Grundfläche die gleiche sein. Die muss nicht die gleiche Figur sein, aber ihr Flächeninhalt muss mit dem der Grundfläche des anderen Körpers übereinstimmen.
Soweit zur "Vorgeschichte". Diesen Satz benötigen wir jetzt für unseren Beweis. Wie du im Anhang sehen kannst, besteht das Prisma aus drei Pyramiden. Wir nehmen uns die blaue und die grüne Pyramide. Unschwer zu erkennen ist, dass die Grundfläche dieselbe ist, denn: Nehmen wir die Berührfläche als Grundseite bei beiden Pyramiden, so muss der Flächeninhalt zumindest schon mal übereinstimmen. Nun wollen wir noch zeigen, dass die Höhe gleich ist. Die Höhe der grünen Pyramide ist die Seite unten beim Prisma. Bei der blauen ist es eben die Seite oben. Da beim Prisma Grund- und Deckfläche übereinstimmen, ist die Höhe identisch - nach dem Satz des Cavalieri ist also V P2 (blau) = V P3 (grün).
Nun zeigen wir noch, dass V P1 (rot) = V P2 - dann würde nämlich auch V P1 = V P3 gelten und damit können wir dann weiter arbeiten. So, die Grundfläche ist gleich. Wir nehmen uns jetzt bei beiden Pyramiden die Grund- bzw. Deckfläche des Prismas als Grundfläche. Der Flächeninhalt der Grundflächen stimmt also überein. Als Höhe nehmen wir bei beiden Pyramiden die Höhe des Prismas - die ist an allen Stellen gleich. Somit sind die Höhen der Pyramiden und damit auch ihre Volumina gleich.
Jetzt können wir damit arbeiten. Wir wissen: V(P1) = V(P2) = V(P3). Damit muss gelten V(P1) = V(P2) = V(P3) = 1/3V(Prisma), denn wir haben drei Pyramiden mit gleich großen Volumen. Wir wissen auch: V(Prisma) = G*h. Somit gilt (erstmal NUR IN DEM PRISMA - den allgemeinen Fall müssen wir noch zeigen): V(P1) = V(P2) = V(P3) = 1/3*G*h
Das müssen wir jetzt noch allgemein zeigen. Und zwar so: Man nehme sich irgendeine andere Pyramide. Diese hat aber dennoch den gleichen Flächeninhalt und die gleiche Höhe wie bei den Pyramiden aus dem Prisma. Die kann auch eine andere Figur als Grundfläche haben - wichtig ist bloß: Grundfläche gleicht der der Pyramiden. Damit ist also auch klar, dass für jede beliebige Pyramide die Formel gelten kann, da die Prismen unterschiedlich groß sein können etc.
Damit gilt für das Volumen einer Pyramide:
V = 1/3 * G * h q.e.d.
Übrigens: Das gilt auch bei einem Kegel! Die Formel für das Prisma gilt damit folglich auch für einen Zylinder. Denn: Kreise sind n-Ecke mit unendlich viele Ecken :-)
Und: Das Verhältnis der Volumina ist wie folgt:
V(Kegel) : V(Zylinder) : V(Kugel)
= 1 : 2 : 3.
Dazu hab ich sogar mal ein Gedicht geschrieben :D
Findest du im Kommentar :-))
Ich hoffe, dass ich dir mit meiner Antwort etwas weiter helfen konnte :))
LG ShD
Hier das Gedicht ^^
die folgenden Gebilde her:
Dreieck, Kreis und ein Quadrat
- was es wohl damit auf sich hat?
Lässt man nun die Figuren drehen,
dann sieht man Körper draus entstehen!
Kegel, Kugel und Zylinder
- so nennt man diese Körper, Kinder!
Um das Volumen soll es gehen,
gleich werdet ihr es auch verstehen!
Man schaue sich die Körper an
- seht, was man erkennen kann:
Die Höhe ist ja zweimal r,
und nehmen wir die Formeln her,
da wird h durch 2r ersetzt,
vergleichen wollen wir das jetzt:
Bei der Kugel bleibt's dabei,
4 durch 3 πr hoch 3.
V Zylinder - das ist klar
- das ist einfach G mal h.
V vom Kegel, bin so frei,
das ist G mal h durch 3. Wenn man h hier nun ersetzt, was erhalten wir dann jetzt?
V gleich 2πr hoch 3,
die Formel vom Zylinder sei!
Für Kegel gilt ohn' Hexerei:
2 durch 3 πr hoch 3.
Wenn wir das nun jetzt vergleichen,
da wird nicht viel Zeit verstreichen,
und ich kann die Lösung nennen,
leicht ist sie doch zu erkennen.
Das Verhältnis, das wird klar
ist, wie's zu beweisen war:
Nämlich 6 zu 4 zu 2
- oder 1 zu 2 zu 3.
Ich hoffe es gefällt :))
LG ShD
- Lemma: schräge Transformationen des Raum sind maßerhaltend (volumenerhaltend).
- Anwendung: man transformiere den Raum vermöge einer schrägen Transformation, bis die Pyramide so aussieht wie die Ecke eines Quaders.*
- Lemma: Verschiebungen und Rotationen des Raumes sind maßerhaltend.
- Anwendung: man kopiere die Pyramide 6 Mal, rotiert und versetzt die Kopien bis ein gefüllter Quader entsteht.* (Mit den Größen h, ℓ, b, wobei h = die senkrechte Höhe.)
- Folgerung: das Maß (Volumen) einer Pyramide beträgt V = ⅙·V□ = ⅙hℓb = ⅓·h·½ℓb = ⅓·h·G
Dieser Ansatz lässt sich leider nicht verallgemeinern. Daher betrachte man:
Beweis aus der AnaIysis.
Mittels Integration erhält man das Ergebnis.
* Beschreibung durch Formeln möglich sonst reicht es für das Vertrauen, eine Skizze zu erstellen.
Kann ich im Prinzip zeigen, ist aber (besonders hier auf Gutefrage.net im Vergleich zu math.stackexchange.com) ziemlich aufwändig zu tippen.
Der Würfel wird 3 gleiche große Pyramiden geteilt und nicht in 6. Und der Trick mit dem Zerlegen in 3 gleich große Teile funktioniert nicht nur mit einem Würfel sondern auch mit einem beliebigen Quader.
Eine allgemeine Herleitung der Gleichung V=Gh/3 mit Hilfe der Integralrechnung gibts hier:
Die gilt für beliebige Pyramiden (und ebenso sogar für Kegel).
1) Es gibt auch Beweise, die mit 6 Pyramiden arbeiten.
2) Wie geht denn der Beweis mit 3 Pyramiden für den Quader?
Die 3 Pyramiden haben weder gleiche Grundfläche, noch gleiche Höhe.
Das kannst du beweisen, indem du einfach deine Pyramide nimmst, die Spitze so verschiebst, dass sie senkrecht über einem der Eckpunkte der Grundseite liegt, dann deine beiden Kanten am Boden, ich nenne sie jetzt mal a und b, nimmst, und sie mit der Höhe c verrechnest.
G = a*b
h = c
=> V_Pyramide = Gh/3 = abc/3 = 1/3 Quadervolumen.
Jetzt kannst du natürlich noch sagen, dass ja nicht jede Pyramide eine rechteckige Grundseite hat. Stimmt. Aber jede Grundseite kann zu einem Rechteck mit unverändertem Flächeninhalt transformiert werden.
Und bei einer Pyramide hat man nichts anderes als die Summe, hier jetzt das Integral, aus allen unendlich vielen Grundflächen welche nach oben hin immer kleiner werden, aber immer ähnlich zu einander sind.
Damit ist einfach bewiesen, dass 3 kongruente Pyramiden zu einem Quader zusammengesetzt werden können!
JTR666 kannte ich schon!^^ Aber dann gilt ja wieder k=a=h=a und das will ich vermeiden.
Kegel sind ja auch nur Pyramiden mit einer unendlichen-eckigen Grundfläche
Ach was. Pyramiden sind auch bloß Kegel, deren Grundfläche ein Kreis mit einer Manhattan Metrik ist.
Es wurden ja schon einige Antworten gegeben. Ich steuere noch meinen Beitrag mit den sogenannten Kanonen auf Spatzen schießen zu.
Grundlage ist die sogenannte Keplersche Fassregel, sie lautet:
V = h / 6 * (G + 4 * M + D),
wobei h die HÖhe ist, G die Grundfläche, M die Fläche in der Mitte (halbe Höhe) und D die Deckfläche ist.
Bei einer Pyramide ist M = 1/4 * G (folgt aus dem Strahlensatz) und D = 0, weil die Pyramide oben spitz ist. Damit gilt
V = h / 6 * (G + 4 * G / 4) = h / 6 * 2 * G = h * G / 3.
Die Keplersche Fassregel gilt für alle schulrelevanten Körper. Beweisen kann man sie mit den Mitteln der Integralrechnung, obwohl die Formel selbst zur Anwendung nur Mittelstufenmathematik benötigt.
modell machen und in wasser tauchen , die scala zeigt oft das volumen an.
Jetzt verstehe ich auch den Witz "Was ist der Lieblingsfilm eines jeden Mathematikers? Das Schweigen der Lemma" :DD