Pyramide in Würfel (Mathematik)
Hallo!
Wieder mal eine Mathe-Frage!
"Eine Pyramide hat die selbe Grundfläche wie ein Würfel. Die Spitze ist in einer Würfelecke. Die Oberfläche der Pyramide ist grösser als die halbe Oberfläche des Würfels.
Aufgabe: Die Oberfläche der Pyramide soll exakt halb so gross sein wie die Würfeloberfläche. Wie hoch muss die Pyramide sein?"
Die Aufgabe soll in Gleichungen gelöst werden, die Kantenlänge des Würfels ist s. x - die Höhe - wird gesucht.
Was ich natürlich machen könnte wäre s mit einer Zahl zu belegen und dann die Pyramiden-Oberfläche zu berechnen, um zu sehen, wie viel noch fehlt. Allerdings weiss ich nicht, wie ich dann auf einen Term rein mit Variablen komme?!
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen..
3 Antworten
...bin auch drauf reingefallen.
Aber du (kannst dich überlegen schlau stellen und) brauchst überhaupt nichts zu rechnen um nachzuweisen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.
A. Sei ABCD die Grundfläche des Würfels, D' senkrecht über D und Spitze der Pyramide.
Eine zentrische Streckung mit Zentrum D' und Streckfaktor k überführt
einen beliebigen Würfel W mit Oberfläche O(W) samt Pyramide P mit Oberfläche O(P) in
einen Würfel W' mit Oberfläche O(W') samt Pyramide P' mit Oberfläche O(P').
Dann ist O(W') = k² * O(W) und O(P') = k² * O(P), also
O(P') / O(W') = ( k²O(P) ) / ( k²O(W) ) = O(P) / O(W);
alle denkbare Figuren der Voraussetzung sind geometrisch ähnlich, das Verhältnis beider Oberflächen für beliebige Seitenlänge x gleich.
Vorausgesetzt ist, dass ein Paar (W, P) mit O(P) / O(W) > 1/2 existiert. Dann folgt direkt, dass kein Paar (W, P) mit O(P) / O(W) = 1/2 existiert, q.e.d.
B. Wenn du doch etwas rechnen willst:
Für die Länge der Diagonale im Quadrat gilt abhängig von der Seite des Quadrats eine einfache, mit Pythagoras zu erstellende Formel.
Der Mantel der Pyramide besteht aus den Dreiecken ABD', BCD', CDD' und DAD'. Alle diese Dreiecke sind rechtwinklig, ihre jeweilige Oberfläche durch Betrachtung der Katheten leicht zu berechnen. - Alle restlichen zu berechnenden Teilflächen sind Quadrate.
Heraus habe ich O(P) / ( O(W)/2 ) = (2 + √2) / 3 für beliebiges x.
s² + M = 3s² weil Oberfläche vom Würfel=6s²
M=2 * s * hs und hs²=(s/2)² + x² einsetzen und nach x umformen
Das berücksichtigt nicht, dass die Spitze der Pyramide eine Ecke des Würfels ist.
Versuchs erstmal mit dem satz des pythagoras :3 so würd ich anfangen... dann hast du schonmal die diagonale der pyramide... wenn du die diagonale der quadratischen fläche hast, kannst du eig die höhe berechnen... so würde ich es machen :3