Wie berechnet man extremwertaufgaben?
Irgendwie finde ich es verwirrend, ich gucke zig videos, und durchsuche alle Mathebücher, und ich versuche seit 4Jahren es zu verstehen. Nur irgendwie ist das alles voll unlogisch.
Mal muss ich eine Ableitung bilden, mal nicht.
Mal muss ich gleich null setzen, dann wieder nicht.
Mal muss ich die formeln für dreiecke anwenden, dann wieder nicht.
Mal muss man quadratisch ergänzen, ein anderes mal die pq-formel anwenden.
Ich brauche kein elendiges hin und her, ich brauche Gründe, warum ich welche methode verwenden soll. Irgendwie muss man für jede einzelne extremwertaufgabe eine unterschiedliche Rechenweise anwenden.
Wann weiß ich denn nun, wann ich ableiten muss? Oder wann ich null setzen muss?
Ich brauche klare Anweisungen, schritt für schritt, wie soll ich denn eine Lösung finden, wenn man ständig eine andere Methode aus den Ärmel reißt?
4 Antworten
Deinen Fragen nach zu urteilen, hast Du die Grundlagen der Differentialrechnung nicht verstanden und suchst jetzt nach Rezepten, wie Du beliebige solcher Aufgaben lösen kannst. Wenn Du daran arbeitest, die Zusammenhänge zu verstehen, ist der Rest nur noch Anwendung von Regeln.
Bei Extremwertaufgaben kommt es darauf an, aus der textlichen Beschreibung die Extremalbedingung und die Nebenbedingung zu entwickeln. Das erfordert Verständnis. Der Rest ist Anwendung von Regeln (deren Sinn man aber auch verstanden haben sollte, um z.B. Ausnahmen zu erkennen).
Ich brauche klare Anweisungen, schritt für schritt, wie soll ich denn eine Lösung finden, wenn man ständig eine andere Methode aus den Ärmel reißt?
Du sollst nicht finden (was ein Suchen beinhaltet), du sollst verstehen, dass du dir eine Funktion zusammenbastelst, die zeigt, wo eine andere Funktion ein Max bzw. ein Min hat. Dazu muss man denken und nicht finden wollen!
Extremwertaufgaben sind immer simultan zu lösen:
Hier am einfachsten Beispiel: Zwei Zahlen addieren sich zu 10, das Produkt soll maximal werden.
1. Hauptbedinung aufstellen:
P=x*y
2. Nebenbedingung aufstellen:
10=x+y
3. Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen
10-x=y
4. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen (hier wird es zu einer Funktion)
P(x)=x(10-x)
P(x)=-x²+10x
5. Extremwert berechnen
5.1 erste und zweite Ableitung bilden
P'(x)=-2x+10
P''(x)=-2
5.2 erste Ableitung 0 setzen (Kriterium für Extrempunkt)
0=-2x+10
-10=-2x
x=5
5.3 Art des Extrempunktes prüfen
P''(5)=-2 -> HP!
6. Je nach Aufgabenstellung andere Variable oder Ergebnis berechnen
10=5+y
y=5
P=5*5=25
Fertig. Verinnerliche dir den Ablauf und du rockst jede Extremwertaufgabe :)
Welche konkreten Bedingungen und Funktionen du bekommst, unterscheidet sich von Aufgabe zu Aufgabe. Es können Polynome, aber auch gebrochen rationale Funktionen, etc. sein. Daher rührt wahrscheinlich deine Verwirrung. Das Konstrukt an sich ist simpel.
Die jeweiligen Aufgaben müssen betrachtet werden. Die Extremwertaufgaben suchen nach höchst- und tiefstsitzenden Punkten auf den Kurven. Auf den Parabeln, den Kurven zu quadratischen Gleichungen, gibt es immer nur ein Extremum: entweder ein Maximum oder Minimum, je nachdem, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Bei kubischen Gleichungen gibt es im allgemeinen 2 Extrema. Man spricht dann von lokalen Extrema.
Bei Extrema liegt eine gedachte Tangente an der Kurve waagerecht, das heisst, deren Nullsteigung macht sich in der 1.Ableitung als Nulldurchgang der Ableitungskurve bemerkbar.