Wie löse ich diese Matheaufgabe zu quadratischen Gleichungen?

Ich habe schon in die Lösungen geguckt aber da sind nur die Ergebnisse. Wie berechnet man die Nullstellen?

Answer 1

[RonaId]

Aufgabe b) der x-Wert von P ist um 4 größer als der von S und der y-Wert von P ist um 2 größer.
2 / 4^2 = 0,125, das ist also der Streckungsfaktor a.

f(x)=a(x-d)²+e ist die Scheitelpunktform

e und d können direkt aus S übernommen werden.
Damit hätten wir f(x)=0,125(x-3)^2-2
Das kannst Du nun mit 0 gleichsetzen und erhältst -1 und 7.

In dem Falle ginge es noch einfacher, da eine Nullstelle gegeben war P(7|0) und die Zweite symmetrisch zur Parabelachse(x=3) liegt. Und 3-7 ist -1.
Aber ich wollten eine allgemeine Lösungsvariante zeigen.

Du kannst hier auch selbst mit den Variablen der Scheitelpunktform herumspielen:
https://www.desmos.com/calculator/xgbtncqpv1

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Traktorist mit Zertifikat von Bill Gates

Answer 2

[Rhenane]

Bei a) und b) hast Du neben dem Scheitelpunkt jeweils eine Nullstelle gegeben. Die x-Stelle des Scheitelpunkts liegt immer genau zwischen den Nullstellen. Bei a) liegt die gegebene Nullstelle 2 Einheiten rechts von S, d. h. die andere liegt 2 Einheiten links davon. Bei b) geht's genauso.

Üblicherweise (bei c) musst Du es so machen) stellst Du mit dem Scheitelpunkt die Scheitelpunktform auf, setzt den gegebenen Punkt ein, rechnest damit dann den Streckungsfaktor a aus und setzt diesen kompletten Term dann Null um an die Nullstellen zu kommen.

Answer 3

[evtldocha]

Aufgabe a)

Der Scheitelpunkt ist bei x=0. Aus P(2|0) kannst Du ablesen, dass bei x=2 eine Nullstelle ist (P hat ja die Koordinate 0). Die zweite Nullstelle liegt vom x-Wert des Scheitelpunktes genauso weit entfernt wie die erste Nullstelle. Damit ist die zweite Nullstelle x=-2 (Q(-2|0)).

Wenn Du es genau wissen willst:

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+2\right)\cdot\left(x-2\right)$

Aufgabe b)

Das geht mit der analogen Überlegung wie a), der Scheitelpunkt der Parabel ist bei x=3 und die beiden Nullstellen sind:

$x_1=7\ \ und\ x_2=3-\left(7-3\right)=-1$

(die erste Nullstelle ist 7-3 = 4 Einheiten rechts vom x-Wert des Scheitelpunkts)

Und die Funktion ist:

$f\left(x\right)=\frac{1}{8}(x+1)\cdot(x-7)$

Aufgabe c)

Hier musst Du die Funktionsgleichung ermitteln und die Nullstellen suchen. Aus dem Scheitelpunkt S(2|12) folgt $f\left(x\right)=a\cdot\left(x-2\right)^2+12$

P(1|9) zur Bestimmung von "a" verwenden: $f\left(1\right)=a\cdot\left(1-2\right)^2+12=9\ \rightarrow\ a=-3$

Daher ist die Funktion: $f\left(x\right)=-3\cdot\left(x-2\right)^2+12$

Nullstellen davon:

$-3\cdot\left(x-2\right)^2+12\ =0\ \Leftrightarrow\ \left(x-2\right)^2=4\ \Leftrightarrow\ x_1=0\ \vee\ x_2=4$

Answer 4

[Halbrecht]

sehe ich jetzt erst 

a und b gehen wie

sagt einfacher ,weil der S immer in der Mitte der Nullstellen liegt

a) -2/0 

b) -1/0 wären die anderen

Kann sein ,dass ihr das dürft !

.

Nur bei c) muss man meiner Antwort folgen 

hat man S so kann man hinschreiben 

bei b)

y = a*(x-3)² - 2 

a fehlt noch

man nimmt P 

0 = a(7-3)² - 2

+2 = 16a

1/8 = a 

y = 1/8 * ( x-3 )² - 2

.

Nullstellen noch nicht feststellbar

0 =1/8 * ( x-3 )² - 2

+2 und mal 8 

16 = (x-3)²

wurzel

+ - 4 = x-3

x01 = 7 , x02 = -1

.

Alternativ kann man auch 1/8 * ( x-3 )² - 2 ausmultiplizieren , gleich Null , mal 8 und dann pq