Wie berechnet man ein Dreieck, wenn nur c, h(c) und Gamma = 90° gegen ist? (Mathematik)

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eddiefox

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im Thema Mathematik

08.06.2016, 16:18

Hallo,

Du könnest zwei Gleichungen aufstellen:

die Fläche F des Dreiecks ist F = (1/2)hc. Es fehlen die Seiten a und b.

Die Fläche des Rechtecks mit der Diagonale c ist 2F. Also

a² + b² = c² und 2F = ab

Aus der 2. Gleichung a oder b ausrechnen und die in die erste Gleichung einsetzen. Dann erhält man eine Gleichung in der nur noch eine Seite unbekannt ist. (Man erhält eine Gleichung mit b⁴, b², wenn man nach a aufgelöst hatte).

Hier macht man eine Substitution: x=b² und berechnet die Lösungen der in x quadratischen Gleichung. Eine der beiden Lösungen wird "sinnvoll" sein (= positiv). Dann zurücksubstituieren, so erhält man b. Damit berechnet man a.

Grüsse

schmidtmechau

09.06.2016, 07:48

Hallo Amago,

es gibt noch einen einfacheren Weg.

Der Satz des Thales sagt, dass jedes rechtwinklige Dreieck in einem Halbkreis liegt. Der Punkt C liegt also auf dem Kreisbogen. Nun denken wir uns das Dreieck, das aus der Mittelsenkrechten auf c, der Höhe h und einem Teil der Hypotenuse gebildet wird. Die Mittelsenkrechte auf c ist gleich dem Radius des Halbkreises, also 1/2 c. Mit diesem Dreieck können wir die Differenz zwischen den Hypotenusen-Abschnítten p und q ausrechnen.

Dazu können wir Pythagoras anwenden mit:

(1/2 c)² = h² + x² | -h²

(1/2 c)² - h² = x² | Wurzel

x = Wurzel ((1/2 c²) - h²)

Jetzt addieren und subtrahieren wir x zu bzw. von 1/2 c und haben damit p und q. Damit können wir ohne weiteres a und b errechnen.

Gruß Friedemann