Wie berechne ich die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen?
10 Der Längsschnitt einer Piste in einer Ski- halle kann für 0 ≤ x ≤ 250 näherungsweise durch die Funktion f mit
f(x) = -1/100000x³ +0,004x² + 0,05x+
10 beschrieben werden (vgl. Fig. 2).
a) Berechnen Sie den Steigungswinkel am oberen Ende der Piste.
b) Die Skihallenbetreiber behaupten, dass die Piste eine Steigung von bis zu 58% besitzt. Haben die Betreiber Recht?
c) Bestimmen Sie rechnerisch, an welcher
Stelle das Gefälle der Piste am niedrigsten ist.
1 Antwort
Sei f'(x) erste Ableitung und f''(x) die zweite Ableitung von f(x)
a)
Das ist f'(250).
b)
Für die maximale Steigung muss f''(x) = 0 sein. Daraus berechnet man x und daraus f'(x). Das ist die maximale Steigung.
c)
Die minimale Steigung liegt vor, wenn f'(x) = 0 ist (0 <= x <= 250), oder an den Stellen x = 0 bzw. x = 250.
Am einfachsten berechnet man f'(0) und f'(250). Wenn beide Werte positiv sind, hat f'(x) keine Nullstelle zwischen 0 und 250.