maximaler Flächeninhalt Fünfeck?

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = - 0.05^ 3 + x + 4 . Die Punkte 0(0,0) P(5,0) Q(5,f(5)) R(ulf(u)) und S(0|f(0)) sind Eckpunkte eines Fünfecks. Die Lage von R hängt von u ab (0 ≤u≤5). Der Flächeninhalt des Fünfecks wird mit der Gleichung A(u) = 1/2 * (4 + f(u)) * u + 1/2 * (f(u) + 2, 75)(5 - u) berechnen.

Für welchen Wert von u wird der Flächeninhalt des Fünfecks maximal?

Answer 1

[Kalkablagerung]

$f\left(x\right)\ =\ -0,05x^3\ +\ x\ +\ 4$ $A\left(u\right)\ =\ \frac{1}{2}u\left(4\ +\ f\left(u\right)\right)\ +\frac{1}{2}\left(5-u\right)\left(f\left(u\right)\ +\ 2,75\right)$

Jetzt setzt man erst einmal f(u) ein: $A\left(u\right)\ =\ \frac{1}{2}\left(4u\ -\ 0,05u^4\ +\ u^2\ +\ 4u\ +\ \left(5\ -\ u\right)\left(-0,05u^3\ +\ u\ +\ 4\ +\ 2,75\right)\right)$ Zusammenfassen: $A\left(u\right)\ =\ \frac{1}{2}\left(8u\ -\ 0,05u^4\ +\ u^2\ -\ 0,25u^3\ +\ 5u\ +\ 33,75\ +\ 0,05u^4\ -\ u^2\ -\ 6,75u\right)$ Noch mehr zusammenfassen: $A\left(u\right)\ =\ \frac{1}{2}\left(6,25u\ -\ 0,25u^3\ +\ 33,75\right)$ Nun kannst du das Ableiten (um das Maximum zu bestimmen): $A'\left(u\right)\ =\ \frac{1}{2}\left(6,25\ -\ 0,75u^2\right)$ Diese kannst du nun gleich 0 setzen: $0\ =\ \frac{1}{2}\left(6,25\ -\ 0,75u^2\right)$ $-6,25\ =\ -0,75u^2$ $\frac{25}{3}\ =\ u^2$ $\frac{5}{\sqrt{3}}\ =\ u$ Alternativ auch (um es mathematischen Standards anzugleichen): $u\ =\ \frac{5\sqrt{3}}{3}$ Das ist ungefähr u = 2,887.

Theoretisch müsstest du jetzt noch überprüfen, ob das ein Maximum oder Minimum ist, aber da wir ja wissen, dass dort ein Maximum liegen muss und keine Sattelpunkte dort sind, ist das so ok.

Ich weiß leider selbst nicht, ob das richtig ist, aber ich dachte, ich antworte lieber, anstatt, dass es keiner tut. Ich bin mir auch unsicher, da die Punkte in meiner Berechnung keine Rolle spielen.

Ich hoffe, ich kann helfen.

Wenn Fehler meinerseits gesichtet werden, bitte kommentieren!

Woher ich das weiß: Hobby – Ich interessiere mich für Mathematik

Comments

[TBDRM]

Wie kommst du darauf, dass f von Graf Vier ist?

[Kalkablagerung]

@TBDRM

Was genau meinst du?

[TBDRM]

@Kalkablagerung

A(u) =

2

1

​

(4u − 0,05u

4

+ u

2

+ 4u + (5 − u)(−0,05u

3

+ u + 4 + 2,75))

[TBDRM]

@Kalkablagerung

Oh... das kann man nicht kopieren. Vergiss den letzten Kommentar einfach.

Habe mich vertan. Habe nicht gesehen, dass du mit u multipliziert hast.

Ich weiß nur nicht, wieso wir unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Bei mir ist es u≈2.08 und nicht u≈2.88

Answer 2

[TBDRM]

Wir haben folgende Informationen gegeben

• O = (0, 0)
• P = (5, 0)
• Q = (5, f(5))
• R = (u, f(u))
• S = (0, f(0))
• 0 ≤ u ≤ 5
• f(x) = –0.05 x^3 + x + 4

wobei OPQRS ein Fünfeck bildet und die maximale Fläche abhängig von u gesucht ist.

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Wir fangen an mit der Hauptbedingung: Wir stellen die Formel für den Flächeninhalt des aufgespannten Fünfecks auf. Wir können hier das Fünfeck an der Achse der Stelle u in zwei Trapeze teilen. Wir erhalten also für unseren Flächeninhalt A abhängig von u

A(u) = (f(u) + f(0)) / 2 * u + (f(u) + f(5)) / 2 * (5 – u)

A(u) = (5 * (f(u) + f(5))+ u * (f(0) – f(5))) / 2

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Jetzt setzen wir die Nebenbedingung ein, nämlich die Funktionsgleichung (bei f(0) und f(5) direkt Funktionswert eingesetzt).

A(u) = (5 * (f(u) + 2.75) + u * (4 – 2.75)) / 2

A(u) = (5 * f(u) + 2.25 * u + 13.75) / 2

A(u) = –0.125 u^3 + 1.625 u + 6.875

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Nun müssen wir die erste Ableitung bilden und gleich nullsetzen, um mögliche Extremstellen zu ermitteln.

A'(u) = –0.375 u^2 + 1.625

A'(u) = 0 <=> u = ± sqrt(39)/3 ≈ ± 2.08

Es kommt natürlich nur die postive Lösung in Frage. Wir prüfen schnell mit der zweiten Ableitung, dass es eine Maximalstelle ist.

A"(u) = –0.75 u => A"(2.08) < 0 (Maximum)

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Nur noch die Maximalstelle in A einsetzen und wir haben unsere maximale Fläche berechnet.

A(sqrt(39)/3) = 22.25 [FE]

Das geben wir dann in Flächeneinheiten an.

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)