WICHTIG!Unterschied zwischen Äquivalentzeichen <=> und dem normalen gleichheitszeichen = ?
Wann benutzt man <=> (Äquivalentzeichen )und wann = (gleichheitszeichen) bei quadratischen Funktionen bzw. Gleichungen?
5 Antworten
Der Unterscheid ist relativ einfach erklärt:
als Basis 7 = 7 (7 gleich 7), das ist eine eindeutige Gleichung
wenn wir nun rechts und links vom "=" die gleiche Operation ausführen, also z.B. 3 addieren
7 + 3 = 7 +3
dann ist das ein Äquivalent zu der Ausgangsgleichung. nennen wir es "ähnlich"
oder "*5"
5*7 = 5*7
Der Ausdruck X ⇔ Y bedeutet, "X gilt genau dann, wenn Y gilt". Manchmal sagt man auch "X gilt dann und nur dann, wenn Y gilt". Das heißt:
Der Ausdruck ist wahr, wenn für alle möglichen Eingaben X = Y gilt. Das heißt, die Gleichheit muss allgemeingültig sein. Man spricht auch von einer Tautologie. Beispiel:
(A → B) ⇔ (¬A ∨ B)
Die Äquivalenz ist hier gegeben, da die linke Seite immer das gleiche Ergebnis liefert wie die rechte Seite, ganz egal, welchen Wert A und B haben. Wären die beiden Seiten nur für manche Werte gleich, wäre die Äquivalenz nicht erfüllt.
Der Äquivalenzpfeil wird leicht mit dem Bikonditional (X ↔ Y) verwechselt. Das Bikonditional ergibt wahr, wenn die beiden Seiten den gleichen Wahrheitswert haben. Das Bikonditional erfordert jedoch keine Allgemeingültigkeit. Somit kann ein Bikonditional zu wahr evaluieren, auch wenn die beiden Seiten nicht äquivalent sind. Beispiel:
(A → B) ↔ A
Dieser Ausdruck ergibt wahr, falls A und B wahr sind. Dennoch sind A → B und A nicht äquivalent.
Ergänzung: Gleichheitszeichen = wird verwendet, um Terme zu vergleichen, z.B. 15x = 3 * 5x. Das Gleichheitszeichen evaluiert zu wahr (falls die beiden Seiten gleich sind) oder zu falsch. Das Äquivalenzzeichen wird verwendet, um zwei Wahrheitswerte zu vergleichen, z.B.
x = √(x ⋅ x) ⇔ x ≥ 0
Gleichheitszeichen stehen zwischen Termen, während Äquivalenz zwischen Aussagen benutzt werden.
Z.B.:
4-2 = 2
gebraucht ein Gleichheitszeichen, da die Terme gleich sind.
Wenn du aber deine Gleichungen hast:
4x+4y = 8
und:
2x+2y = 4
Das sind zwei Aussagen. Da diese beiden Aussagen das gleiche aussagen, sind sie äquivalent.
Lg
Beim Äquivalenzeichen steht links und rechts eine Aussage - meist mit Gleichheitszeichen dabei.
a + 1 = b <=> a + 2 = b + 1
<=> ist eine Beziehung zwischen Aussagen.
= ist eine Verknüpfung welche für einige mathematische Objekte gültig ist. (Zahlen, Mengen, Vektoren, Matrizen...)