Frage von TheRipper11elf1, 51

Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein?

Hilfe, ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.

Welchen Winkel schließen die Vektoren a ⃗ und b ⃗ ein, wenn sie folgende Eigenschaften besitzen?

a=3, b=4, (2a ⃗-b ⃗) senkrecht zu (a ⃗+b ⃗)

3-dimensional

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Wenn du die Vektoren exakt vorgeben kannst, dann kannst du über das Skalarprodukt und die Beträge an den Winkel herankommen:

cos φ = (<a> • <b>) / ab                 <a> ist mein Vektor, a ist mein Betrag

Du hast anscheinend die Beträge, du brauchst aber auch die Vektoren selber, um das Skalarprodukt zu bilden - egal in welchem Raum.

Kommentar von TheRipper11elf1 ,

Danke für deine Antwort, aber ich habe zu <a> und <b> keine Angaben, außer die genannten der Aufgabe.

Kommentar von Volens ,

Dann fehlt für mich im Kontext noch irgendeine Angabe, die die Vektoren besser beschreibt.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Hallo,

ich nehme an, a*b soll |a|*|b| bedeuten.

Da cos(Phi)=(a·b)/(|a|*|b|), steht der Nenner schon mal fest: 3*4=12

Es gilt nur noch, a·b herauszufinden.

Dazu hilft Dir die Angabe, daß (2a-b) und (a+b) senkrecht aufeinanderstehen, daß also gilt: (2a-b)·(a+b)=0

Wenn Du das ausmultiplizierst, bekommst Du 2a²-b²+a·b=0

Was ist a²? Das ist a·a

Wenn a der Vektor (x/y/z) ist, bedeutete dies x²+y²+z²

Das ist aber nichts anderes als das, was bei der Berechnung des Betrages unter der Wurzel steht. a² muß also gleich 3²=9 sein.

2a² ist dann 18 und b²=4²=16

18-16=2

Also: 2+a·b=0

a·b=-2

Dann ist (a·b)/(|a|*|b|)=-2/12=-1/6

Das ist der Kosinus des Winkels zwischen beiden Vektoren.

Der Winkel ist dann der Arcuskosinus: arccos(-1/6)=99,6°

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von TheRipper11elf1 ,

Danke!! Das Ergebnis ist richtig(hab das Ergebnis ohne Rechenweg vorliegen).

Kommentar von Willy1729 ,

Und ich hatte es zur Sicherheit anhand einer Konstruktion überprüft. 

Antwort
von fjf100, 4

Einfach nur "Kosinusformel" für den 3 dimensionalen Raum anwenden 

siehe Mathe-Formelbuch oder in deine Unterlagen.

Formel cos(c)= a * b/(a) * (b)

a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)

a *b= ax*bx +ay*by+az *bz

(a)= Wurzel (ax^2+ay^2 +az^2)

(b)= Wurzel( bx^2+by^2+bz^2)

Die Indizes sind die Komponenten der Vektoren x,y und z Richtung

Winkel (c)= ar cos ( a *b/((a) *(b) *)

Antwort
von Maimaier, 24

2-dimensionaler Raum oder 3?

Kommentar von TheRipper11elf1 ,

3D

Kommentar von Maimaier ,

Betrachte das Koordinatensystem, bei dem der a-Vektor die x-Achse ist, der b-Vektor in der x-y-Ebene liegt. Die z-Ebene braucht man dann nicht, das reduziert die Rechnerei schonmal.

a=(4,0)

b=(p,q) mit Länge 4, also p^2+q^2=4^2 => q=wurzel(16-p^2) => b = (p, wurzel(16-p^2))

es gilt:

(2a-b) * (a+b) = 0

Setze die obigen Vektoren ein in die untere Gleichung, damit müsste p eindeutig bestimmt sein (vermutlich quadratische Gleichung)

Kommentar von TheRipper11elf1 ,

Danke für deine Antwort. Aber warum kann man für die Koordinate p einfach p einsetzen und muss nicht wurzel(16-q²) dafür einsetzen?

Kommentar von Maimaier ,

Du kannst stattdessen auch die Variable p rauskürzen, dann kommt (wurzel(16-q^2), q) für b heraus.

hauptsache du kürzt eine Variable raus und es bleibt nur noch die andere übrig.

übrigens hatte ich einen fehler: a muss (3,0) sein, denn a hat ja Länge 3 und nicht 4.

Antwort
von Wechselfreund, 5

Es sind 19,4°

Kommentar von Wechselfreund ,

... Vorzeichenfehler...

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