Macht es einen Unterschied wie man die Vektoren beim Kreuzprodukt positioniert?
Halli Hallo,
Bei einer Aufgabe sollte ich den Winkel den zwei Ebenen ei schließen berechnen. Für die Normalenvektoren habe ich (1/1/1) und (9/9/-9) herausbekommen. In der Lösung steht (1/1/1) und (-9/-9/9) aber das müsste ja eigentlich das selbe sein oder nicht? Ich habe beim Kreuzprodukt eben nur die Vektoren anders herum geschrieben. macht aber ja doch eigentlich keinen Unterschied denn man könnte die Vektoren ja mit (-1) multiplizieren und schon hat man den jeweils anderen Vektor... Wenn ich jetzt aber mit dem Cosinus den Winkel zwischen den Vektoren berechne, komme ich auf einen anderen Winkel... Um den Winkel in der Lösung zugerhalten musste ich dann noch meinen Winkel von 180 abziehen. Aber warum? Woher weiß ich das?
Über jeeeede Hilfe bin ich dankbar!
Lg
3 Antworten
Bei der Berechnung des Winkels zwischen zwei Ebenen ist immer nach dem spitzen Winkel gefragt (sofern nicht anders angegeben). Durch diese Regel kann der Winkel nie größer als 90° sein. Erhält man durch die Berechnung einen Winkel größer als 90°, rechnet man 180° minus dem errechneten Winkel.
Wie du selbst festgestellt hast, gilt beim Kreuzprodukt nicht das Kommutativgesetz.
Wenn du die Vektoren vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des Ergebnisses.
Der Ergebnisvektor steht zwar immer senkrecht auf den Ausgangsvektoren, allerdings ändert er je nach der Reihenfolge der Ausgangsvektoren die Orientierung. Er zeigt also beispielsweise entweder nach oben oder nach unten.
Hallo Teresa,
ja, das ist so gedacht, dass der Winkel nicht ganz eindeutig ist. Wenn wir zwei Geraden in der Ebene schneiden (das kann man sich besser vorstellen, das Prinzip ist aber dasselbe wie bei zwei Ebenen im Raum), gibt es ja auch zwei Winkel, einen spitzen und einen stumpfen, die sie im Schnittpunkt einschließen. So weit ich weiß, ist dann der spitze Winkel, also der kleinere der beiden, der, den man am Ende haben möchte. Wenn du also mit deinen Normalvektoren einen stumpfen Winkel erhalten hast, dann musst du ihn von 180° abziehen, um den anderen, also den spitzen Winkel zu bekommen. Wenn du eh schon den spitzen Winkel bekommen hast, dann bist du an dieser Stelle fertig.