Welche Zahlenmenge für „ ³√(-8)“?
Hallo,
Meine Lehrerin meinte heute, dass die Zahl „³√(-8)“ (Dritte Wurzel aus -8) nicht definiert sei und daher kein Teil unserer Zahlenmengen ist. Für mich würde dies ja an und für sich auch Sinn machen, da allgemeine Potenzgesetze ja sonst z.B. vernachlässigt werden müssten
—> -2 =? (-8)^(1/3) =? (-8)^(2/6) =? 2 —> -2 ist ungleich 2
Stellt man nun die Gleichung „x^3=-8“ auf, könnte man für diese dann trotzdem eine reelle Lösung finden? Weil wenn das oben genannte stimmt dürfte ich ja dann nicht wie üblich auf beiden Seiten einfach eine 3. Wurzel ziehen, da diese ja dann nicht definiert wäre. Für „x^3=-8“ sollte es aber doch eigentlich ja eine Lösung geben, nämlich „-2“.
Warum verschwindet diese Lösung dann sobald man Wurzeln verwendet, wie es eigentlich ja sonst immer üblich ist beim Gleichungslösen? Und würdet ihr sagen, dass man „³√(-8)“ oder ³√(-1)“ oder ³√(-64)“ keiner Zahlenmenge zuordnen kann?
3 Antworten
Du hast es richtig erkannt: Die Potenzgesetze gelten nur für positive Basen. Man kann also ³√−8 := −2 definieren, muss dann aber aufpassen, dass man nicht aus Versehen die negative Zahl quadriert und dann wieder die Wurzel zieht (in Deiner Rechnung ist das der Schritt von 1/3 nach 2/6).
Den Grund dafür erkennt man erst, wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet: hier hat die Gleichung xⁿ=a immer genau n Lösungen, die auf einem Kreis um den Ursprung liegen.
- Bei geradem n und reellem a sind zwei Lösungen („Wurzeln“) reell (eine positiv, die andere negativ). Mit der Definition ⁿ√a := „die (einzige) positive Wurzel“ kommt man im Reellen ganz gut zurecht. Der Winkel einer positiven Zahl in der komplexen Ebene ist 0⁰, und die bekannten Potenzgesetze ändern daran nichts.
- Bei ungeradem n und reellem a gibt es nur eine reelle Wurzel, und die ist negativ, hat also in der komplexen Ebene den Winkel 180⁰. Es macht bei negativen Zahlen aber einen Unterschied, ob Du erst quadrierst (⇒ 180⁰·2=360⁰=0⁰) und dann die Wurzel ziehst (0⁰/2=0⁰) oder umgekehrt (180⁰/2=90⁰, 90⁰·2=180⁰).
Bei negativen Zahlen passt die (willkürliche) Definition von geraden Wurzeln eben nicht mehr. Das siehst Du schon bei −2=(√(−2))²≠√((−2)²)=+2.
Trotzdem ist die Definition von ungeraden Wurzeln als negative Zahl im Reellen oft nützlich. Man muss halt etwas aufpassen (wie üblich beim Potenzieren von negativen Zahlen).
Der beste Grund gegen diese Definition liegt wieder im Komplexen: Hier würde man nämlich ³√−8 := 1+i√3 wählen, weil das intuitiver und praktischer ist. Die beiden anderen Lösungen −2 und 1−i√3 sind eher uninteressant. Und niemand will zwei verschiedene Definitionen gleichzeitig haben.
Perfekt danke für deine ausführliche Antwort, die komplexen Zahlen sind halt echt ein wirklich faszinierendes Kapitel der Mathematik.
Das ist ein schwieriger Fall. Theoretisch
sind die dritten Wurzeln aus negativen Zahlen
tatsächlich nicht definiert, obwohl man mit
³√(-8) = -2
normalerweise "hinkommt".
Das Problem dabei: 1/3=2/6, aber (-8)^(1/3)=-2, während (-8)^(2/6)=2.
Wegen solcher Widersprüche wird meist entschieden, daß Wurzeln egal welchen Grades aus negativen Zahlen nicht definiert sind.
(-2)³ = -8, also ist die dritte Wurzel aus -8 gleich -2, und damit gibt es eine Lösung sogar im Bereich der natürlichen Zahlen.
Das gilt nur für gerade Wurzelexponenten, denn da gibt es immer zwei Lösungen (jedenfalls, solange wir über reelle Zahlen reden). Wurzeln mit ungeraden Exponenten haben nur eine Lösung.
Es wird trotzdem nicht definiert, da sonst die Wurzelgesetze kaputt gehen.
Jedoch ist die n. Wurzel einer Zahl x definiert als die Positive Lösung y von der Gleichung y^n = x
-8 ist aber negativ.