Existiert die dritte Wurzel aus -8?

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8 Antworten

Der Definition der Wurzel im Reellen liegt folgender Satz zugrunde: Zu jeder reellen Zahl c>=0 und jeder natürlichen Zahl n existiert genau ein reelles x>=0 mit  x^n = c

Dieses x heißt n-te Wurzel aus c.

Eine andere Definition wäre nicht sinnvoll, schon wegen der Eindeutigkeit der Funktion, z.B. ist die Wurzel aus 4 nicht +2 oder -2 sondern nur +2.

Eine Ausdehnung der Definition für solche Fälle wie dritte Wurzel aus -8 ist vor allem deshalb nicht sinnvoll, weil bei der Abänderung des Exponenten von (-8)^(1/3) nichts sinnvolles mehr herauskäme. Was soll das Ergebnis sein, wenn man 1/3 um einen sehr kleinen Betrag abändert. Deshalb existiert die dritte Wurzel aus -8 nicht. Die Definition der Wurzeln wird im Reellen ja auf einen beliebigen Exponenten ausgedehnt und man hat eine Stetigkeit hinsichtlich des Exponenten als Variable. Diese wäre bei einer negativen Basis verletzt.

Ganz anders sieht die Sache im Komplexen aus. Man verwendet hier dasselbe Wurzel-Symbol, aber das Ergebnis ist in reellen Fällen nur zum Teil mit der Definition aus dem Reellen identisch. Zum Beispiel ist hier die Wurzel aus 4 tatsächlich ± 2. Die Eindeutigkeit der Wurzelfunktion wird durch die Einführung der Riemannschen Flächen erreicht. Bei Quadratwurzeln hat man eine 2-blättrige Riemannsche Fläche, bei einer dritten Wurzel eine 3-blättrige Fläche. Ändert man den Exponenten z.B. auf eine irrationale Zahl ab, hat man eine unendlich blättrige Fläche. Im Komplexen kann man nicht eine der n Lösungen von z^n = c (wobei hier c eine komplexe Zahl ist) besonders auszeichnen. Die Fragestellungen sind hier anderer Natur.

Quintessenz: Du hast völlig recht, die Verwirrung kommt nur daher, weil man im Komplexen dasselbe Wurzelsymbol wie im Reellen verwendet.

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Kommentar von ralphdieter
29.05.2016, 08:55

Eine andere Definition wäre nicht sinnvoll

Bronstein; Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Aufl. 1981, Kapitel 1.2.1.3. Irrationale algebraische Funktionen

Dort werden die Funktionen y=x^k für rationale k definiert. Abb. 1.20 zeigt u.a. den Graphen für k=1/3 auf ganz |R.

Ich finde diese Definition äußert sinnvoll und habe auch mit der Konvention ∛x = x^⅓ keine Probleme. Fazit:

∛(-8) = -2

Was soll das Ergebnis sein, wenn man 1/3 um einen sehr kleinen Betrag abändert

Ebenso könntest Du argumentieren, dass ln(x²+1) für x<0 nicht definiert ist, denn wenn man den Exponenten in 2+𝜀 abändert...

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Ich als Mathematikstudent kann dir mit guter Sicherheit sagen, dass Wurzeln, gerade wie ungerade aus allen reellen Zahlen definiert sind.

Nur ist das Ergebnis nicht immer eine reelle Zahl.

Es gibt für die n-te Wurzel einer Zahl immer n verschiedene Lösungen (Ausnahme: die Ausgangszahl ist Null).

Eine Lösung für die dritte Wurzel aus  -8 ist -2 denn (-2)³ = -8.

Die beiden anderen lauten 2 * e^(2/3 * pi * i) bzw. 2 * e^(4/3 * pi * i)
Wobei i die imaginäre Einheit ist.

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Kommentar von Messerset
28.05.2016, 14:35

Ach, ist das schön. Soviel Unwissen auf einem Haufen. Wenn du wirklich Mathematik studierst, dann nimm doch bitte mal deinen Heuser Lehrbuch für Analysis Teil I und schlag ihn auf, S.78. Dort findest du unter 2. die Begründung.

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Das kommt ganz drauf an welchen Zahlenbereich man für das Ergebnis zulässt im reellen Bereich R ist eine negative Wurzel tatsächlich nicht definiert. Im komplexen Zahlenbereich C dagegen sehr wohl. Hier wäre Wurzel(-8) = 2.8284i

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Kommentar von YStoll
28.05.2016, 14:26

Achtung: es geht um die dritte Wurzel, nicht um die Quadratwurzel.

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Kommentar von Messerset
28.05.2016, 14:29

Ich meinte natürlich nur die reellen Zahlen, aber ich bin mir gar nicht mal so sicher, ob du Recht hast.

Sicherlich hat die Gleichung x^2=-1 im Komplexen eine Lösung. Das ist mir auch klar. Aber die Quadratwurzel ist nun einmal nicht für negative Zahlen definiert.

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Schau dir mal komplexe Zahlen an

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Kommentar von Messerset
28.05.2016, 14:22

Ich meinte natürlich nur im Reellen. Mein Fehler.

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Nein, aus Minuszahlen darf man keine Wurzeln ziehen.

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Kommentar von strol
28.05.2016, 14:24

Man darf aus Minuszahlen keine geraden Wurzeln ziehen. Also 2., 4., 6., 8. usw.

Bei ungerade Wurzeln wie 3, ist das erlaubt.

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Ja. Nämlich "-2"

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Kommentar von uhmdunnolol
28.05.2016, 14:24

ja, weil -2 zum Quadrat -8 ergibt und nicht 4...Herr lass Hirn regnen

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OK, ich möchte selber lösen, weil es ja keiner richtig versteht. Ich löse auch gar nicht selbst sondern zitiere aus deinem Standard-Lehrbuch für Analysis von Prof. Dr. rer. nat. Harro Heuser.

"1. Die pte Wurzel aus a ist nur für a größer oder gleich 0 definiert, und es ist immer pte Wurzel aus a größer oder gleich 0; insbesondere ist die Quadratwurzel aus a größer oder gleich 0.

...

2.Die Aufgabe, die pte Wurzel aus a zu berechnen, ist scharf zu unterscheiden, von dem Problem, sämtliche reellen Lösungen der Gleichung x hoch p = a zu finden. Ist a größer 0, so liefet die pte Wurzel aus a eine, und zwar eine positive Lösung dieser Gleichung. Ist p gerade, p = 2k, so haben wir in - pte Wurzel aus a eine zweite (diesmal negative) Lösung, weil (- pte Wurzel aus a) hoch p = (-1) hoch 2k (pte Wurzel aus a) hoch p = 0 ist. Z.B. sind x1:= Wurzel aus 4 = 2 und x2:= - Wurzel aus 4 = -2 zwei reelle Lösungen der quadratischen Gleichung x hoch 2 = 4. Diese Lösungen gibt man gerne mit der Kurzschreibweise x1,2 = +- Wurzel aus 4 an, was aber häufig zu dem Mißverständnis führt, die Quadratwurzel habe zweierlei Vorzeichen, und es sei eben Wurzel 4 = +-2"

Man möge mir den fehlenden Formelsatz verzeihen.

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Kommentar von Schachpapa
28.05.2016, 15:46

Lieber Messerset,

deine Argumentation ist nachvollziehbar und ist offenbar fehlerfrei aus einem Lehrbuch abgeschrieben. Herzlichen Glückwunsch!

Dass es auch andere Positionen gibt, wird z.B.in diesem Buch http://www.ziebarth-net.de/1836\_probe.pdf (S.216f) ausgeführt. Der Autor ist ebenfalls Professor.

Ansonsten tust du mir eher leid, wenn du mit einer fertigen Lösung in ein Amateurforum gehst und dort meinst den Oberguru heraushängen lassen zu müssen.

Formulierungen wie "damit ihr nicht doof sterbt", "soviel Unwissenheit auf einen Haufen" usw. kann man sich wirklich schenken.

Mir drängt sich der Verdacht auf, dass dies das Einzige ist, was du sicher zu wissen glaubst und nun gehst du damit hausieren.

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Kommentar von ralphdieter
29.05.2016, 08:25

Heusers Analysis I-III ist zweifellos ein Standardwerk, aber es richtet sich gezielt an Anfänger.

1. Die pte Wurzel aus a ist nur für a größer oder gleich 0 definiert

Das bezieht sich wohl auf eine vorausgehende Definition der p-ten Wurzel für beliebige positive reelle p. a<0 wird hier explizit ignoriert, weil das nur für ganz spezielle p sinnvoll ist (z.B. p=3).

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Sie existiert nicht, lässt sich aber durchaus berechnen, mit komplexen Zahlen. Die sind für genau das erfunden worden

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Kommentar von Messerset
28.05.2016, 14:23

Stimmt. Ich meinte natürlich nur im Reellen.

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Kommentar von YStoll
28.05.2016, 14:29

Doch, sie existiert. Nämlich -2, was eine reelle, ja sogar ganze Zahl ist.

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Kommentar von vitus64
28.05.2016, 14:31

Es ging um die dritte Wurzel und die ist -2.

Wenn etwas nicht existiert (nicht definiert ist), lässt es sich auch nicht berechnen.

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