Unendlich mal null ist null?
Hallo Leute. Ich habe folgendes Problem:
Und zwar habe ich vor einigen Tagen eine Mathe Klausur geschrieben. Ich sollte bei einer Aufgabe die Häufungspunkte einer Folge bestimmen.
Jedenfalls stand da irgendwann mit die n-te Wurzel aus n Fakultät mal 0 plus 1/n
Ich hab dazu geschrieben, dass dies nicht definiert ist.
meine Argumente: Die n-te Wurzel aus n Fakultät konvergiert gegen unendlich. Nun habe ich aber unendlich mal 0 plus 1/n. Unendlich mal null ist nicht definiert. Da unendlich keine reelle Zahl ist, gilt hier eigentlich auch nicht die übliche Rechenregel „alles mal null ist null“
nun wurde mir das jedoch als falsch markiert. Laut Lösung ist die n Wurzel aus n Fakultät mal 0 gleich 0.Ich finde das aber etwas ungerecht. Erstmal wurde das so nie in den Vorlesungen eingeführt (also der Rechen Umgang mit unendlich). Es wird auch immer zu uns gesagt , dass man in der Klausur nur die Schreibweise benutzen darf, die man auch so in der Vorlesung kennen gelernt hat. Jetzt wird irgendwas abgefragt, was so noch nie thematisiert wurde, und dann ist meine Antwort eig (meiner Meinung nach) auch gar nicht so verkehrt.
denkt ihr könnte etwas dagegen sagen und mir noch einen Punkt rausholen? Ich bin so unschlüssig. Einerseits hört sich das, was ich sage logisch an. Anderseits bin ich auch etwas unsicher. Klar wenn ich die n-te Wurzel aus n Fakultät mal 0 in den Taschenrechner eingebe dann kommt da 0 raus. Aber überall im Internet steht das unendlich mal null nicht definiert ist. Und die n-te Wurzel aus n Fakultät konvergiert ja grad gegen unendlich
was denkt ihr?
4 Antworten
Zunächst einmal ist es so dass Ausdrücke wie "0/0", "unendlich*0", "unendlich - unendlich" etc. tatsächlich nicht definiert sind. Das bedeutet aber nicht, dass der GRENZWERT einer Folge c_n = a_n/b_n mit a_n gegen 0 und b_n gegen 0 oder a_n gegen unendlich und b_n gegen unendlich nicht berechenbar sind. Du darfst nur nicht die Formel lim c_n = lim a_n/lim b_n anwenden, das gehr nur wenn sowohl die Grenzwerte von a_n wie auch von b_n existieren. Sondern du muß (gasp!) TERMRECHNEN um mittels geschickter Termumformungen heraus zu bekommen ob c_n konvergiert oder nicht.
Erstmal wurde das so nie in den Vorlesungen eingeführt (also der Rechen Umgang mit unendlich).
Ganz sicher wurde euch beigebracht wie man Grenzwerte von Zahlenfolgen ausrechnen kann. Der Umgang mit dem "Unendlichen" ist hier nicht erforderlich.
denkt ihr könnte etwas dagegen sagen und mir noch einen Punkt rausholen?
Nein.
Statt dessen solltest du an deinem Abstratktionsvermögen arbeiten und ein wenig mehr üben.
Nachtrag:
Jedenfalls stand da irgendwann mit die n-te Wurzel aus n Fakultät mal 0 plus 1/n
Bitte schreibe mal GENAU hin was da steht, so ist das völlig unverständlich.
n strebt vielleicht gegen unendlich, ist aber nicht unendlich. Und eine beliebige Zahl multipliziert mit 0 ist eben 0.
Stell dir vor, du hättest die Folge a(n) = 1.
Die wäre ja identisch zu a(n) = 1 + 0 und das wieder zu a(n) = 1 + 0 • n. Die Folge a(n) strebt für n gegen unendlich immer gegen 1.
Unendlich • 0 ist undefiniert das ist ja klar. Aber du kannst wie in der Integralrechnung für unendlich bspwl eine sehr hohe Zahl eingeben wenn du es per Graphen definiert haben willst (egal ob mit oder ohne Asymptote) dann egal was du für unendlich eingibst es wird null rauskommen. Auch bei der Zahlenfolge ist dies der Fall
Ja aber es geht ja hier um den Grenzwert. Und die n wurzel aus n Fakultät hat ja als Grenzwert unendlich.. es geht ja nicht darum irgendwie einen Graphen definiert haben zu wollen :/
Das ist die "alte" REchenmethode zu Zeiten Newtons, Leibnitz und Eulers, die dann zu Verirrungen wie summe_n(-1^n) = 1/2 führt und die leider auch in der Schule häufig so gelehrt wird. Mit Grenzwerten rechnet man an Hochschulen mit der Epsilon Methode und mit dem was sich daraus ableiten lässt.
Das ist so als wolle man den Grenzwert von n*0 ausrechnen. n geht auch gegen Unendlich, wird aber mit 0 multipliziert. Jedoch steht hier aber auch wirklich 0 und kein Ausdruck, der einfach nur gegen 0 geht. Man kann also ganz einfach erst den Term umformen ohne Probleme und dann erst den Grenzwert bestimmen. n*0 ist ganz einfach gleich 0, und dann ist es egal was n ist. Der Grenzwert von 0 ist 0.
Solange es nur Termumformungen sind, darf man Folgen so umformen wie man will, solang es am Ende noch gleich ist, und ein Produkt mit einem Faktor von 0 wegzustreichen ist eben eine Termumformung.
Anders wäre es, wenn man n*(1/n) bestimmen will. n geht gegen Unendlich und 1/n geht gegen 0. In dem Fall ist also keiner der beiden Ausdrücke schon gleich 0, also darf man nicht einfach mal 0 rechnen. 1/n geht nur gegen 0, ist aber nicht 0. Die Lösung hier lässt sich aber auch durch eine einfache Umformung bestimmen.