Zeige ob die folgenden Reihen konvergieren oder nicht?
- Summe von x=0 bis unendlich von (x-te Wurzel aus k)-1
Welches ist der Reihen Enumerator? x oder k?
x ist der Enumerator
2 Antworten
Bei „(x-te Wurzel aus k)-1“, also...
... sehe ich nirgends eine Summe. Es handelt sich nicht um eine Reihe.
Meinst du sowas...?
Wenn ja... Für welchen x-Wert? Oder soll man da eine Fallunterscheidung für verschiedene x-Werte machen?
Naja. Eine 0-te Wurzel gibt es nicht. Vermutlich also eher x = 1 bis unendlich, statt x = 0 bis unendlich.
Antwort dann:
- Für k > 1 divergiert die Reihe gegen +∞.
- Für k = 1 konvergiert die Reihe gegen 0. [Offensichtlich.]
- Für 0 ≤ k < 1 divergiert die Reihe gegen -∞.
Die Divergenz kann man beispielsweise mit dem Minorantenkriterium zeigen, indem man die Reihe durch die harmonische Reihe bzw. ein Vielfaches der harmonischen Reihe abschätzt. Dabei kann die folgende Ungleichung helfen...
Es ist exp(x) ≤ 1 + x für alle reellen Zahlen x.
Hier ein möglicher Lösungsvorschlag... (Wobei man dem Fall 0 ≤ k < 1 bestimmt evtl. auch schöner lösen könnte.)
Wow, danke!!Hast du dieses Dokument gerade eben einfach erstellt?
Ja, das Dokument habe ich vorhin für meinen Antwort-Kommentar erstellt.
Wirklich, danke das ist wirklich sehr sehr nett von dir, ich hab den Beweis verstanden, hatte einen Ansatz, aber kann den nie richtig fertig machen. Danke dir:)
Kann ich vielleicht noch eine Frage zu etwas anderem stellen. Ich habe Summe von (-1)^(x+1) *((xte Wurzel aus x)/x).
Ich würde hier das Leibnizkriterium anwenden, dafür muss ich zeigen, dass der Teil nach (-1)^(x+1) eine monotone Nullfolge ist, ich dachte mir ich schreib den Ausdruck um, so dass steht (-1)^(x+1) *(xte Wurzel aus x)*(1/x), dann weiß ich bereits dass 1/x eine Nullfolge ist, aber somit strebt auch die (xte Wurzel aus x) gegen 0, ist das ausreichend, um das Kriterium anzuwenden?
aber somit strebt auch die (xte Wurzel aus x) gegen 0
Nein. Die x-te Wurzel aus x konvergiert (für x → ∞) gegen 1, nicht gegen 0.
Der Faktor 1/x dahinter bewirkt doch nicht einfach, dass der andere, davon unabhängige Faktor (x-te Wurzel aus x) gegen 0 konvergiert. Was jedoch richtig ist, ist dass dann insgesamt (x-te Wurzel aus x)/x bzw. (x-te Wurzel aus x) * 1/x gegen 0 konvergiert, also eine Nullfolge ist.
ist das ausreichend, um das Kriterium anzuwenden?
Nein, da du noch nicht gezeigt hast, dass (x-te Wurzel aus x)/x monoton fallend ist.
Das ist auch nicht der Fall. Denn für x = 1 ergibt das 1. Und für x= 2 erhält man jedoch √(2), was größer als 1 ist.
Man kann jedoch zeigen, dass wenn man sich auf x > 1 beschränkt, (x-te Wurzel aus x)/x tatsächlich monoton fallend ist. Und für Konvergenz ist es nicht relevant, ob es bei den ersten endlich vielen Gliedern Abweichungen gibt, sondern dass es für x, die groß genug sind, passt. Insofern könnte man dann das Leibnizkriterium anwenden, wenn man noch zeigt, dass (x-te Wurzel aus x)/x für natürliche Zahlen x > 1 monoton fallend ist.
ok, also muss ich zeigen, dass für x>1 ist x_n+1<=xn oder?
und man muss die Konvergenzkriterien verwenden.
Ja. Das ist eine gute Strategie:
wikipedia:Konvergenzkriterium#Konvergenzkriterien_für_Reihen
Ja entschuldigung ich werde die Frage schnell überarbeiten, ist zu ungenau:
Es handelt sich um die Summe (x=0 bis unendlich) von x-te Wurzel aus k -1, also ist x die Variable welche die Werte von 0 bis unendlich annimmt.
Leider steht davon nichts bei der Aufgabenstellung, aber ich denke man muss eine Fallunterscheidung machen, daran hab ich eh auch schon gedacht und man muss die Konvergenzkriterien verwenden.