Ist die Summe aller komplexen Wurzeln immer 0?

Wenn man die n-te komplexe Wurzel hat hat man n Ergebnisse. Wenn man alle realen Teile addiert und alle imaginären, sind die zwei Summen dann immer 0?

Ist mir aufgefallen dass das bei recht vielen Wurzeln so sein dürfte. Wenn ja, wieso ist das so?

Answer 1

[ShimaG]

Die Summe der komplexen n-ten Einheitswurzeln ist in der Tat Null (n>1).

Um das zu zeigen, brauchst du die Exponentialdarstellung von komplexen Zahlen und musst wissen, wie man aus einer geometrischen Summe eine explizite Darstellung macht:

$\sum_{_{k=0}}^{n-1}e^{2\cdot\pi\cdot i\cdot\frac{k}{n}}=\frac{1-e^{2\cdot\pi\cdot i}}{1-e^{2\cdot\pi\cdot\frac{i}{n}}}=0$ da e^(2 pi I) = 1 ist und der Zähler damit verschwindet.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Comments

[guschteusz]

Macht geometrisch auch Sinn! Weils ja ein Vieleck um den Nullpunkt bildet (kanns nicht besser erklären, hoffe man versteht was ich meine)

Answer 2

[Roderic]

Wenn man alle realen Teile addiert und alle imaginären, sind die zwei Summen dann immer 0?

Ja.

Das ist nicht nur bei vielen Wurzeln so, sondern tatsächlich bei allen.

Comments

[Roderic]

Ich hätte dir jetzt zum Beleg die n Vektoren der n Wurzeln auf dem Einheitskreis im Koordinatensystem der komplexen Zahlen gezeigt.

Aber der ShimaG - der alte promovierte Mathefuchs und Doktor hats dir gleich mal richtig gegeben. ;-)

[ShimaG]

@Roderic

Mit Betonung auf "alt" ;-)

Answer 3

[michiwien22]

Du hast

$x^n-a=0$

Das linke Polynom lässt sich schreiben als

$x^n-a\ =\ \left(x-r_1\right)\left(x-r_2\right)\ldots\left(x-r_n\right)$

Wenn man das ausmultipliziert und speziell für x vergleicht dann bekommt man

$-x\left(r_1+r_2+\ldots+r_n\right)$

was auf die Aussage führt, dass alle Wurzeln in Summe Null ergeben müssen (außer bei n=1 natürlich).