Was ist ein Grenzwert und wozu muss man ihn errechnen?
Ich bin nun in der 11. Klasse und habe einen neuen Mathelehrer bei dem ich leider nichts wirklich verstehe. Er hat uns jetzt so ziemlich in das Thema Zahlenfolgen eingeworfen und das Ganze ziemlich schnell erklärt sodass ich viele grundlegende Sachen nicht wirklich verstehen konnte.
Was ist denn nun überhaupt ein Grenzwert? Die zahlreichen Online-Erklärungen sind auch alle recht kompliziert formuliert. Ist das ein Wert der nie erreicht wird bzw. den man nicht genau berechnen kann?
Und eine weitere Sache, die ich nicht verstehe ist das Epsilon( ε). Wofür steht das bzw was gibt es an?
Ich bin am verzweifeln und wäre für jede Antwort sehr dankbar:)
8 Antworten
a ist ein grenzwert der folge an wenn für alle n größer N0 es ein epsilon gibt sodass
|a-an|<epsilon
bzw. wenn du zu einem vorgegebenen epsilon ein passendes n0 finden kannst 8oder war es umgekehrt?)
salopp gesagt ist ab einem bestimmten n0 der abstand von folgenwert und grenzwert nur noch maximal epsilon groß.
natürlich muss grundsätzlich n0 von epsilon bzw. umgekehrt gelten.
sage ich dir, der abstand soll nur noch maximal 3 sein, dann solltest du mir das n0 geben können, ab dem das gilt.
dieses findest du durch die erwähnte ungleichung raus.
Dieses ganze Prozedere ist aber nur der Beweis dass a auch wirklich der Grenzwert der Folge an ist.
Ein grenzwert an sich ist jene zahl, zu der sich die Folge "hinbewegt".
also bspw. an=1/n bewegt sich mit immer größer werdendem n auf 0 zu,
an wird zwar immer kleiner aber geht nie unter 0.
es bewegt sich beliebig nahe an die 0 ran.
0 ist dann der grenzwert der folge an=1/n.
du solltest dir vielleicht mal eine folge als Punkte auf einem graphen zeichnen.
senkrechte achse sind die folgenwerte a(n), waagrecht (also poitive x-chse wenn man so will) kommen die n-werte hin.
du wirst bei an schnell sehen dass sich die Folgenwerte , je weiter nahc rechts du kommst, immer näher an die linie y=0 anschmiegen.
Hallo,
ich bin der Meinung, dass gfntom es schon recht gut erklärt hat.
Hast Du es bei ihm kapiert?
Wenn nein, dann melde Dich hier nochmal und ich versuche es auch nochmal noch einfacher zu formulieren.
Also fangen wir mal ganz vorne an:
Zahlenfolge: das ist einfach eine Aneinanderreihung von vielen Zahlen - etwa 2, 6, 8, 4, 0, 5, 8, 3, 11, 34, 5, 7, 88, 47, 565, .....
Sowas hat aber natürlich keinen Charme und interessiert nicht nur den Mathematiker nicht, sondern auch sonst keinen.
Aber wenn so eine Folge einer Gesetzäßigkeit unterliegt, also man eine regel festlegen kann nach der die eine Zahl von der vorherigen abgeleitet werden kann, oder von der Stelle an der sie steht, oder sonstwie eben etwas was man verstehen kann, dann wird das interessant. Zum Beispiel wenn die nächste zahl immer das Doppelt der vorherigen ist; mathematisch würde man das dann schreiben a(n+1) = 2*an, wobei n eine beliebige Stelle in der Folge sein soll.
Bei deinem Besipiel ist die gesetzmäßigkeit als an = (n+1)/n definiert, also die Gesetzmäßigkeit der Folge ist nicht durch den Vorgänger, sondern von der Stelle abhängig an der sie steht.
Es gibt natürlich ganz viele und sehr komplizierte Folgen, die man aufschreiben kann.
Soweit so klar ?
Wenn Du die vielen guten Erklärungen hier nachvollzogen hast, müsstest Du diesen Satz (ganz ohne Formeln) verstehen:
"Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Zahlenfolge, wenn fast alle Glieder der Folge in jeder (noch so kleinen) Umgebung (Epsilon) von g liegen."
Was ist ein Grenzwert?
Der Grenzwert einer Folge ist eine Zahl, der die Folge beliebig nahe kommt. D. h., die Glieder der Folge unterscheiden sich vom Grenzwert immer weniger, je weiter man in der Folge voranschreitet. Man kann also z. B. eine Stelle in der Folge finden, ab der sich alle Folgenglieder um weniger als 1/1000 vom Grenzwert unterscheiden, oder um weniger als 1/1000000.
Ist das ein Wert der nie erreicht wird?
Das kommt auf die Folge an:
- Die Folge 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ..., 1/n, ... hat z. B. als Grenzwert die Zahl 0, weil die Glieder beliebig nahe an die 0 herankommen; und dieser Grenzwert wird von der Folge nie erreicht.
- Aber z. B. die Folge 5, 4, 3, 2, 1, 1, 1, ..., 1, ... hat den Grenzwert 1 und erreicht ihn auch. Ein Grenzwert wird nur von solchen Folgen erreicht, deren Glieder ab einer gewissen Stelle alle gleich dem Grenzwert sind.
Ist das ein Wert [...] den man nicht genau berechnen kann?
Das kommt auf die Folge an. Es gibt viele Regeln, wie man in bestimmten Fällen den Grenzwert einer Folge berechnen kann. Aber es gibt kein allgemeines Verfahren zur exakten Bestimmung von Grenzwerten für beliebige Folgen. Aber man kann natürlich immer eine Näherungslösung für den Grenzwert einer Folge berechnen: Weil die Folgenglieder sich immer weniger vom Grenzwert unterscheiden, braucht man ja nur ein Glied berechnen, das weit genug "hinten" (n groß genug) in der Folge steht.
Und eine weitere Sache, die ich nicht verstehe, ist das Epsilon( ε). Wofür steht das bzw. was gibt es an?
Mit ε bezeichnet man in der Mathematik (und anderswo) gerne eine ganz kleine positive Zahl. Aber man kann auch einen anderen Buchstaben nehmen. Und man darf auch große Zahlen mit ε bezeichnen. (Genauer: ε ist der Name einer Variablen.)
Wozu muss man ihn errechnen?
Die Bestimmung von Grenzwerten und die darauf aufbauende Infinitesimalrechnung und Analysis braucht man z. B., um Bewegungen, Veränderungsprozesse, Kurven, gekrümmte Flächen, Minimal- und Maximalwerte zu berechnen. Es handelt sich hierbei um eine der größten Errungenschaften der Menschheit, ohne die es z. B. die moderne Naturwissenschaft und Technik nicht gäbe.
Fortsetzung meiner Erklärung, die weiter unter begonnen wurde:
Wir haben jetzt also kurz erklärt, was Folge sind und was ihre Bildungsgesetze sind.
Was ist jetzt an solchen Folgen interessant? Der Mathematiker möchte gerne wissen "wo geht das Ganze wohl hin?" Bei meinem Beispiel: "immer das Doppelte des Vorgängers" a(n+1) = 2*an, ist schnell klar, die wird immer größer und hört niemals auf, d.h. die geht gegen Unendlich.
Was ist aber mit deiner aus der Schule? an = (n+1)/n
Da n+1 immer größer als n ist (für alle positiven natürlichen Zahlen) ist dieser Bruch immer größer als 1.
Andererseits kann man leicht erkennen, dass die Folge immer kleiner wird.
z.B. für n=1 steht da 1+1 /1 = 2/1 = 2
für n=2 steht da 2+1 /2 = 3/2 =1,5
für n=10 steht da 10+1 /10 = 11/10 =1,1
und so weiter...
Man merkt, der Bruch wird immer kleiner aner er kann andererseits nie kleiner als 1 werden und ich behaupte, dass auch die 1 niemals erreicht werden kann.
Brgründung: Für jede noch so große Zahl n (aus den natürlichen Zahlen) wird immer der Zähler um 1 größer sein als der Nenner und somit kann der Bruch nie = 1 sein.
Das ist jetzt eine sehr wichtige mathematische Formulierung "für jede noch so große Zahl". Das ist die Enladung an alle die das lesen, eine solche zu finden und mir damit zu beweisen dass meine Behauptung falsch ist. solange aber keiner so eine Zahöl findet, gilt meine Behauptung.
Jetzt haben wir eien interessante Eigenschaft der Folge gefunden: sie wird immer kleiner aber ist durch die 1 nach unter beschränkt. Was bedeutet das? Da kurz vor der 1 nicht irgendwo ein Loch im Universum ist, wo die Folge reinfällt, formuliert der Mathematiker für sowas einen neuen Begriff: den Grenzwert.
Soweit verstanden ?
Sobald Du Dich meldest, dass Du noch mitliest, mache ich weiter. Wenn nicht, dann muß ich annehmen, dass ich Dich verloren habe.
Ich bin wirklich dankbar für die ganzen sehr ausführlichen Antworten, aber leider verstehe ich immer noch nur Bahnhof.
Bei meinem Lehrer habe ich das ganze absolut nicht verstanden. Mein vorheriger Mathelehrer hatte das ganze Thema Zahlenfolgen mit uns nicht besprochen und dann hat uns unser neuer Lehrer so ziemlich mitten in die Thematik geworfen. Ich hab von alldem noch nie gehört und deshalb sind die meisten Erklärungen auch kaum verständlich für mich. Ich komme mir echt so blöd vor. Es wäre super nett von dir wenn du mir das ganze nochmal vereinfacht erklären könntest.