Muss man hier linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bestimmen? Muss man das immer machen? Wenn ja, wie erkenn ich das?
Für lim x --> 0.
Ich habe als Ergebnis 1/e. Nun ist das im Bereich von x = 0 der Grenzwert, wenn ich das richtig verstehe... Aber es könnte ja auch sein, dass der Bereich x < 0 nicht definiert wäre. Also muss ich doch immer links- und rechtsseitigen GW bestimmen? Wenn ja, wie gehe ich da vor... Ich blicke da noch nicht ganz durch.. :(
4 Antworten
Hallo,
wenn der Bereich links von der Null nicht definiert wäre, bräuchtest Du den linksseitigen Grenzwert natürlich nicht zu bestimmen.
Hier ist - weil Du, wenn Du für x eine Null einsetzt - f(0)=0/0 und daher nicht definiert.
Allerdings handelt es sich hier um eine hebbare Lücke, denn durch entsprechende Umformungen kannst Du den Funktionsterm so zu g(x) verändern, daß g(0)=1/e, daß der veränderte Funktionsterm also einen definierten Wert liefert.
Das ist der Grenzwert, dem sich die Originalfunktion bei x=0 annähert, ohne ihn wirklich zu erreichen, denn die Originalfunktion ist für x=0 nicht definiert.
Deswegen ist f(0) nicht gleich 1/e, sondern der Limes von x gegen Null bei f(0) ist 1/e.
Solche Grenzwertbestimmungen müssen bei Funktionen immer da gemacht werden, wo es Definitionslücken gibt, wobei jeweils der links- und der rechtsseitige Grenzwert überprüft werden müssen. Bei einer hebbaren Lücke stimmen die links- und rechtsseitigen Grenzwerte immer überein. Im gezeichneten oder von einem Programm erstellten Graphen ist eine solche Lücke, da unendlich klein, nicht zu sehen, sondern nur rechnerisch zu erfassen.
Herzliche Grüße,
Willy
Nein, ich habe die Berechnung tatsächlich selbst durchgeführt... Zugegebenermaßern nachdem ich da nicht weiterkam, habe ich mir da Ergebnis ausrechenen lassen. Aber sonst habe ich den Rechenweg selbst geleistet und (so denke ich) verstanden, wieso ich was gemacht habe... Nur habe ich mich halt gefragt, ob ich denn jetzt den linkssteigen oder rechtsseitigen Grenzwert berechnet hatte (das war, was mich so umtrieb).
Ok, ich merke gerade, ich habe mich zum richtigen Ergebnis "gemogelt" (mehr oder weniger aus grober Schlampigkeit). Ich habe beim Zwischenergebnis (-2 * cos^2(x)) / (2 * sin^2(x) * e) Zähler und Nenner gekürzt, sodass nur noch e übrig blieb. Da stimmt auf jeden Fall etwas noch nicht..
Ist denn dieses Zwischenergebnis richtig? Ich bin leicht verzweifelt... Mit Sinus und Cosinus hatten wir bislang nicht viel gemacht.
Additionstheorem: cos (2x)=cos²(x)-sin²(x).
Trigonometrischer Pythagoras: sin²(x)+cos²(x)=1
1-cos (2x)=1-(cos²(x)-sin²(x))=1-cos²(x)+sin²(x).
e^(x+2) kann gegen e^(x+3) zu 1/e gekürzt werden.
Nach der ersten Umwandlung bekommst Du also (1-cos²(x)+sin²(x))/(2sin²(x)*e).
Wenn sin²(x)+cos²(x)=1, dann 1-cos²(x)=sin²(x), also wird der Zähler zu 2sin²(x) umgewandelt.
2sin²(x)/(2sin²(x)*e) kann nun zu 1/e gekürzt werden.
Die Ursprungsfunktion lautet nun g(x)=1/e, also eine Waagerechte, die bei 1/e die y-Achse schneidet und ist bis auf die Definitionslücken mit f(x) identisch.
Danke vielmals. Jetzt kann ich nachvollziehen, wie du vorgegangen bist. Aber noch eine abschließende Frage: Gibt es hierbei (bei der Anwendung dieser Theoreme) nur einen Weg zum Ziel, oder auch mehrere (also hätte ich zB für cos(2x) = 2cos^2(x)-1) eingesetzt) und bist du da intuitiv vorgegangen, oder hast mehrere Lösungswege ausprobiert?
Ich habe eine gewisse Erfahrung mit solchen Grenzwertbestimmungen und kam daher sofort auf das Additionstheorem. Es gibt bestimmt noch andere Wege wie etwa die Regel von de l'Hospital.
Was nicht sauber wäre, wäre es, einfach Werte links und rechts von der Null einzusetzen, die sehr nahe an der Null sind. Das taugt nur dazu, um zu sehen, wo der Hase hinläuft. Die erste Wahl ist eigentlich immer die Umformung. funktioniert das nicht, dann de l'Hospital, wenn die Voraussetzungen dafür gegeben sind.
Ich meinte eher, ob du aus der Menge der Additionstheoreme genau das eine bestimmte ausgesucht hast. Im vorheringen Kommentar habe ich ja ein anderes Additionstheorem genannt, das für cos(2x) eingesetzt werden könnte. Gäbe es damit potenziell ein "Dead end", oder wäre das nur ein komplizierterer Weg zur Lösung?
Nun ist cos(2x) = 1 - 2sin²(x), also 1 - cos(2x) = 2sin²(x) ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen
... und e^(x + 3) = e * e^(x + 2),
so dass wirklich nur noch 1/e übrigbleibt.
g(x) hat aber für alle Vielfachen von Pi Definitionslücken. Das ist aber für die Grenzwertbestimmung kein Problem, da diese Lücken "hebbar" sind.
An allen anderen Stellen ist g(x) = 1/e (konstant).
Lese den Begriff "hebbar" zum ersten Mal. Muss erst mal recherchieren ;)
Warum sollte der Bereich x<0 nicht definiert sein? Es gilt doch sin(-x)=-sin(x). Außerdem hast du hier nicht nur eine einzige DEefinitgionslücke bei x=0 sondern viele viele andere auch, nämlich alle Vielfachen von \pi, denn da ist der sin(k * \pi) = 0.
Außerdem erhältst du für x=0 eine Division 0/0, also untersuche mit de l'Hospital.
Danke erstmal für die Antwort.
Das mit x < 0 meinte ich im Generellen, also nicht für diese Funktion... Ich habe mir das Ergebnis mit Maple ausgeben lassen und da war es nur eins. Eventuell gibt es da eine zusätzliche Einstellung, die die restlichen ausgibt. Aber ich habe mir die Funktion plotten lassen und gesehen, dass die ganz kurios aussieht (zumindest für mich). Und l'Hopital hatten wir noch nicht, also ist die Aufgabe so gestellt, dass wir es mit dem momentan behandelten Lernmaterial schaffen sollten..
Nun gut, dann musst du dich eben der Null einmal von links und einmal von rechts nähern. Die Funktion hat keinen Grenzwert sondern hebbare Definitionslücken bei allen Vielfachen von \pi. Ihr Funktionswert ist im gsamten Definitionsbereich 1/e, also eine Parallele zhur x-Achse im Abstand 1/e.
Grenzwerte an Definitionslücken prüft man in der Regel von beiden Seiten, damit man sieht wohin jeweils "die Reise geht". Ist "eine Seite" nicht definiert, dann kann man von dort aus natürlich auch keinen Grenzwert bestimmen.
Weißt Du überhaupt, wie man hier auf den Grenzwert 1/e kommt, oder hast Du ihn einfach vom Computer berechnen lassen? Dieser Grenzwert ist auch ohne de l'Hospital zu ermitteln. Allerdings solltest Du die Additionstheoreme kennen und den trigonometrischen Pythagoras und mit den Potenzregeln vertraut sein.