Bestätigung eines Grenzwertes?

Hallo! Ich verstehe nicht ganz wie ich den Grenzwert beweisen sollte. Könnte mir bitte jemand helfen? Google kommt auch nicht zur Rettung.

Answer 1

[DerRoll]

Finde zu epsilon größer 0 ein (von Epsilon abhängiges) x0 so dass

$\mid\frac{x}{x+1}-1\mid\ <\epsilon$ für alle x > x0. Verwende zunächst dass das was innerhalb der Betragsstriche steht immer negativ ist, um den Betrag geeignet zu eliminieren. Dann löse die Ungleichung nach x auf um das gesuchte x0 zu finden.

Answer 2

[evtldocha]

Vorbemerkung: $x+1\ >x\ \rightarrow\ \frac{x}{x+1}<\ 1\ \ \rightarrow\ \mid\frac{x}{x+1}-1\mid\ =\ -\frac{x}{x+1}+1$

Sei nun: $ε>0\ \wedge\ x_ε=\frac{1}{ε}-1$

Dann gilt für alle x >x_ε: $-\frac{x}{x+1}+1\ =\frac{-x+x+1}{x+1}=\frac{1}{x+1}\ <\ \frac{1}{x_ε+1}\ =\frac{1}{\frac{1}{ε}\ -1+1}\ =ε$

Für jedes ε >0 existiert also ein x_ε , so dass für alle x > x_ε gilt: $\mid\frac{x}{x+1}-1\mid\ <ε$

Damit ist nach Definition des Grenzwertes gezeigt: $\lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{x}{x+1}=1$