Kann mir jemand bei diesem Grenzwert helfen?
2 Antworten
Hallo,
der Grenzwert liegt bei 1/4.
Schreibe zunächst den Nenner um zu Wurzel (4x+3)*2x-Wurzel (4x+3)*(-5).
Nun kannst Du die Quadrate von 2x und (-5) unter die jeweiligen Wurzeln bringen:
Wurzel (16x³/12x²)-Wurzel (100x+75).
Nun ziehst Du im Zähler wie im Nenner Wurzel (x³) aus der Wurzel, indem Du unter den Wurzeln x³ ausklammerst und dann als Wurzel (x³) vor das Ganze stellst:
Zähler:
Wurzel (x³)*Wurzel (1+4/x³)
Nenner: Wurzel (x³)*(Wurzel (16+12/x)-Wurzel (100/x²+75/x³)).
Nach Kürzen durch Wurzel (x³) erhältst Du den Bruch
Wurzel (1+4/x³)/(Wurzel (16+12/x)-Wurzel (100/x²+75/x³)).
Geht x gegen unendlich, gehen die Terme 4/x³; 12/x; 100/x² und 75/x³ gegen Null und es bleibt als Grenzwert Wurzel (1)/Wurzel (16)=1/4.
Allgemein kann ich Dir bei Summen und Differenzen von Wurzeln eine Erweiterung nach der dritten binomischen Formel empfehlen - hier nicht möglich, da es hier um ein Produkt mit Wurzel geht - außerdem das Ausklammern und anschließende Kürzen der höchsten Potenz von x - hier x³, was aber erst nach dem Ausmultiplizieren des Nenners deutlich wurde. Dann ergeben sich oft Terme, die für x gegen unendlich gegen Null gehen und keine Rolle mehr spielen, und etwas, das übrigbleibt und den Grenzwert erkennen läßt.
Noch etwas bei solchen Brüchen:
SInd die höchsten Potenzen in Zähler und Nenner vom gleichen Grad, läßt sich in der Regel ein Grenzwert bestimmen. Ist die Zählerpotenz höher als die Nennerpotenz, geht es gegen plus oder minus unendlich. Ist die Nennerpotenz die höchste, geht es gegen Null.
So lassen sich Grenzwerte oft schon auf einen Blick abschätzen.
Mich hatte im Grunde nur die Wurzel aus x³ oben und die Wurzel aus 16x³ unten interessiert. Wurzel (x³/16x³)=Wurzel (1/16)=1/4.
So geht es am schnellsten, löst bei Mathelehrern allerdings anaphylaktische Schocks aus. Ingenieure dagegen zeigen hier keinerlei Nebenwirkungen. Die oben gezeigte Methode dagegen ist sauber.
Herzliche Grüße,
Willy
Kürze im Zähler und im Nenner mit 1/sqrt(x³)). Der Zähler geht dann gegen 1. Verwende im Nenner das x³ = x²*x und du siehst dass der Nenner gegen 0 geht. Damit geht der gesamte Grenzwert gegen unendlich.