Kann jemand den Grenzwert hier bestimmen? Gerne erklären ich komme nicht weiter?
4 Antworten
Hallo,
der Grenzwert ist 1/e, also etwa 0,36788.
Schreibe um zu e^(ln((n+1)/(n+2))^n)=e^(n*ln((n+2)/(n+1)), zieh den Limes in den Exponenten, schreibe diesen wieder um zu ln ((n+2)/(n+1))/(1/n).
Da Zähler und Nenner gegen 0 gehen, kannst Du de l'Hospital anwenden, also Zähler und Nenner einzeln ableiten und dann n gegen unendlich gehen lassen.
Als Grenzwert für den Exponenten bekommst Du -1 heraus und e^(-1)=1/e.
Herzliche Grüße,
Willy
Man kann den Kehrwert betrachten,
1/an = ( 1 + 1/(n+1) )^n,
und diese Darstellung kennst du vielleicht, oder eher
( 1 + 1/(n+1) )^(n+1),
das geht gegen e. Das n+1 statt n im Exponenten macht keinen Unterschied.
Man kann substituieren n=x-2 und erhält (x-1/x)^(x-2)
Das "-2" kannst Du bei sehr großen x weglassen (fast unendlich -2 ist fast unendlich) und erhältst (x-1/x)^x = 1/e
Das ist mathematisch sicher nicht ganz sauber formuliert, aber sollte so stimmen.
Keine Ahnung, Grenzwerte waren irgendwie nie mein Thema, aber stumpfes Einsetzen sagt, dass es der Kehrwert der Eulerschen Zahl ist, vielleicht hilft das ja.