Wie berechne ich bei folgender Gleichung den Grenzwert?
Hallo,
Meine Gleichung ist f(x)=2-(1(/x+3)) für x gegen -3.
(das "/"-Zeichen ist als Bruchstrich zu verstehen)
Die Lösung sagt: Der Grenzwert ist nicht existend (=unendlich) nur verstehe ich überhaupt nicht, wie man darauf kommt, denn wenn ich -3 einsetze kommt 1/0 raus und das ist ja nicht definiert. Oder muss ich hier mit der Polynomgleichung arbeiten?
Danke im Voraus
Kurze Ergänzung: unter dem Bruchstrich steht "x+3"
2 Antworten
Die Funktion f(x) = 2 - (1 / (x + 3)) ist an der Stelle x = -3 nicht definiert. Bei x = -3 liegt eine Polstelle vor. Näherst Du Dich der -3 von der linken Seite, so geht der Funktionswert gegen plus unendlich und näherst Du Dich der -3 von der rechten Seite, so geht der Funktionswert gegen minus unendlich. Daher ist die Bedingung für einen Grenzwert nicht erfüllt und es liegt kein Grenzwert vor. Setze testweise für x Werte ein, die sich der -3 von beiden Seiten annähern, also z.B. -3,1 und -3,01 sowie -2,9 und -2,99, so wird das Verhalten des Graphen der Funktion deutlich.
Du kannst testen, für welche Werte der Nenner Null wird. Eine Polstelle liegt vor, wenn: Nenner(x) = 0 ∧ Zähler(x) ≠ 0
Das lässt sich mit logischem Denken lösen:
Der Grenzwert von 1/x bei x in Richtung unendlich ist 0
Das bedeutet, dass der Ausdruck in Klammern bei x in RIchtung unendlich den Grenzwert 3 hat.
Daraus folgt, dass der Ausdruck 2-die Klammer bei x in RIchtung unendlich den Grenzwert -1 hat.
(Es sei denn du hast bei dem Bruchstrich vergessen, die Klammern richtig zu setzen. Ist der Bruch wirklich nur 1/x, passt es.
Tatsächlich habe ich dann vergessen die Klammer zu setzten. Unter dem Bruchstrich steht "x+3". Richtig müsste die Aufgabe also f(x)= 2-(1/(x+3)) heißen
Dann ist der Grenzwert 2. x+3 in RIchtung unendlich hat bei x in RIchtung unendlich den Grenzwert unendlich. Demnach hat 1/(x+3) den Grenzwert 0 bei x in Richtung unendlich. Daraus folgt, dass 2-(1/(x+3)) den Grenzwert 2 hat.
Der letzte Satz muss lauten: Daraus folgt, dass 2-(1/(x+3)) bei x in RIchtung unendlich den Grenzwert 2 hat.
Wolfram Alpha sagt, dass kein Grenzwert bei x zu -3 existiert. Tut mir leid, dass ich mich geirrt habe.
Uns wurde gesagt, dass Polstellen generell keine Grenzwerte haben und man sie daran erkennt, dass "etwas ungleich null/0" das Ergebniss ist, wenn ich die kritische Zahl eingeben. Heißt das, das ist das erste was ich versuche? Also die kritische Zahl einsetzten und schauen ob es eine Polstelle oder Lücke ist.