Warum ist die Stammfunktion der Flächeninhalt von f(x)?
Mir fehlt etwas der mathematische Zusammenhang, Vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Integral bedeutet ja eigentlich erstmal nur, dass unter der Funktion Vierecke eingezeichnet werden und von diesen der Flächeninhalt berechnet wird(Untersumme). Nur das bei nem Integral die Rechtecke unendlich klein werden. Ich berechne also eigentlich die nur sehr genau die Fläche unter der Funktion.
Was ich jetzt nicht verstehe ist, warum das Aufleiten funktioniert. F(a) - F(b) ergibt den Flächeninhalt von f(x) zwischen a und b. Aber warum funktioniert das. f(x) gibt ja dann die Steigung der Funktion F(x) an, nur wieso kann man mit diesem Wissen den Flächeninhalt bestimmen?
4 Antworten
Bei der Herleitung des Integrals summiert man über lauter schmale Rechtecke
der Breite Δx und Höhe f(x), und lässt dann Δx gegen 0 gehen. Wenn man die
Integralfunktion F(x) ableitet, muss man ja ΔF(x)/Δx bilden, und dann Δx → 0.
Nun ist ΔF(x) angenähert die Fläche eines dieser schmalen Rechtecke, also
ΔF(x) = f(x) • Δx oder ΔF(x)/Δx = f(x) und für Δx → 0 dann F‘(x) = f(x).
Beim integrieren werden KEINE Rechtecke gebildet. Das dient nur zur Veranschaung oder zum berechnen des Flächeninhalts von gesampelten Werten. Samplen bedeutet "Proben nehmen". Das kann z.B. sein, dass man ein Thermometer stündlich abliest und die Werte in eine Tabelle einträgt.
Was das integrieren bringt kann man an einem anderen Beispiel gut veranschaulichen.
Auf einer Busfahrt sieht man als Passagier den Tacho. Jetzt schaut man alle paar Minuten hin (regelmäßig) und schreibt sich die aktuelle Geschwindigkeit auf. Macht man daraus einen Grafen, hat man die Geschwindigkeit über die Zeit als Grafik. Geschwindigkeit ist aber nichts anderes als "Weg pro Zeit" oder anders ausgedrückt "Weg durch Zeit". Der GRaf zeigt also "Weg pro Zeit" über die Zeit. Die Fläche eines Rechtecks ist ja "A mal B". Wäre die Geschwindigkeit des Busses absolut konstant hätte man ein Rechteck im Grafen und könnte man für das "A" die Geschwindigkeit und für "B" die Zeit einsetzen. Heraus kommt "Weg durch Zeit" mal "Zeit", also "Weg". Die Fläche unter der Linie im Graf ist also der zurückgelegte Weg!
Da der Bus aber unterschiedlich schnell fährt, kann man nicht einfach bei jedem Punkt des Grafens auf den zurückgelegten Weg schließen in dem man einfach XmalY anwendet. Der war ja vorher schneller und langsammer, aber wie viel weiß man nicht direkt. Hier kommen die Rechtecke ins Spiel. Für jeden Meßpunkt (ablesen des Tachos) muß man dann ein eigenes Rechteck bilden und die Flächen addieren. Man weiß aber im Nachhinein nicht wie sich die GEschwindigkeit zwischen den ABlesungen verändert hat. Also hat man einen Fehler. Und man kann da auf 3 verschiedene Arten Rechtecke rein legen. Man kann der Einfachheit annehmen, dass sich die Geschwindigkeit zwischen den Punkten sprunghaft geändert hat um schöne, einfache Rechtecke zu kriegen. Aber wann hat sich die GEschwindigkeit geändert? Man kann annehmen, dass das kurz vor dem Ablesen passiert ist, kurz danach oder genau zwischen den Punkten. Das verändert die Lage der Rechtecke im Grafen unter den Meßpunkten und erzeugt je nach dem einen anderen Fehler. Normal ist die Mitte immer gut, das macht man in der Audiotechnik gerne bei digitalen Musikdaten. Beim Bus kann man aber annehmen, dass das bremsen viel schneller geht als das beschleunigen, also wird der Fehler vermutlich(!) geringer wenn man annimmt, dass sich die GEschwindigkeit nach dem Ablesen sprunghaft geändert hat und so bei sinkenden Werten auf keinen Fall zu viel Fläche (Weg) hat. Somit rechnet man eher zu wenig Weg aus was bei der Annahme, dass der Bus stärker bremst als beschleunigt den Fehler verkleinert.
Die Bildung des Integrals hat nichts mit Rechtecken zu tun, hier bekommt man direkt eine Funktion der Fläche. Beim Ableiten erhält man ja die STeigung einer Funktion, also sozusagen die Beschleunigung und das Bremsen. Macht man das Gegenteil, also "Aufleiten" (ich weiß, der Begriff ist falsch) erhält man die Fläche was bei einer GEschwindigkeit der zurückgelegte Weg ist.
Klar addiert der Tacho die Umdrehungen der Räder und rechnet daraus (Ableitung) die Geschwindigkeit aus. Das integrieren ist hier ja das Gegenteil (Aufleitung) und damit kriegt man wieder den Weg zurück. Wenn man sich das so denkt ist es plötzlich ganz einfach zu sehen warum das Integrieren einer Funktion die Fläche ergibt. Man macht ja durch selber integrieren das rückgängig was der TAcho durch Ableiten gemacht hat um die Geschwindigkeit anzeigen zu können.
Eine Technische Anwendung von numerischem integrieren ist die Akkuanzeige des Handys. Bei Bleiakkus reicht die Spannung zu messen, die ist abhängig vom Ladezustand. Bei Lithiumakkus geht das nicht. Wärend ein Bleiakku sozusagen wie eine gespannte Feder betrachtet werden kann und man durch messen der Kraft die Energie die drin steckt shließen kann, ist ein Lithiumakku eher wie der Tank eines Autos zu verstehen. Das Auto hat immer volle Kraft bis plötzlich der Tank leer ist und der Motor stottert. Im Tank kann man mit einem Schwimmer messen wie viel drin ist, das geht beim Lithiumakku nicht. Hier misst das Handy wie viel Ladung rein geht und wie viel abgerufen wird. Durch das integrieren der Lade- und Entladeströme kann dann der Energieinhalt des Akkus berechnet werden. Ist der Akku beschädigt und verwandelt heimlich Ladeströme in Wärme so dass diese Energie einfach weg ist, dann spinnt die Akkuanzeige, springt plötzlich von "Halbvoll" auf "Fast leer", einfach weil der Akku erst bei ca. 20% "stottert", also seine Spannung messbar einbricht.
Merke :das Integralzeichen S (verrehrtes S) ist der mathematische Befehl zur Aufsummierung unendlich vieler kleiner Teilflächen dA zu einer Gesamtfläche A.Die Einheit ist FE (Flächeneinheiten) oder bei bestimmten Einheiten ,mm^2, cm^2.m^2,km^2 usw..
bei einer Flächenberechnung im bestimmten Intervall x2 und x1 ist die
Gesamtfläche=grosse Fläche minus kleine Fläche (obere Grenze minus untere Grenze) .
Beispiel y´=f´(x)= 2 *x integriert y=f(x)= 2/2 * x^2 +C=x^2 +C
berechne die Fläche unter den Grafh y= 2x im Intervall x1=0 x2=5 und x1=2 x2=5 einmal mit einfacher Dreiecksberechnung und dann mit der Inte- gralrechnung !!
vergleiche die Ergebnissse !!
Du stellst die Frage so, als wenn zufällig mal was aus der Mathematik mit der Wirklichkeit übereinstimmt. Dabei war es anders: über viele Jahre versuchten Physiker Gesetze/Theorien zu finden, wie unsere Welt funktioniert.
Mit Hilfe der Hilfswissenschaft "Mathematik" konnte man zeigen, dass das Aufsummieren von 2 (Weg-)Dimensionen eine Fläche und das Aufsummieren von 3 (Weg-)Dimensionen das Volumen ergibt. Dieses Aufsummieren wurde ständig verfeinert und ständig wurden neue Gesetzmäßigkeiten gefunden. Das Aufsummieren wurde "Integrieren" getauft und auch in der Physik fand man analoge Gesetze:
Arbeit/Energie = Integral von Leistung über die Zeit
Wenn man nun den Spezialfall betrachtet, wo eine Dimension konstant bleibt, kann diese Konstante vor das Integral gezogen werden -> und mit ∫1 dt = t bekommt man das primitive Produkt:
Arbeit/Energie = konstante Leistung mal Zeitraum
Immer mehr Wissenschaftler fanden heraus, dass jede Dimensions-Aufsummierung genau mit dieser Integration funktioniert. Statt zig Formeln für das Volumen von Körpern auswendig zu lernen, muss man nur wissen, dass das Volumen gleich der Integration der 3 Weg-Dimensionen ist:
http://www.gerdlamprecht.de/Volumenintegrale.html
Den Rest kann man sich selbst herleiten, wenn man die Funktion jeder einzelnen Dimension kennt.
Maxwell konnte mit seinen Maxwell-Gleichungen die komplette Elektrotechnik auf wenige Integral-Gleichungen reduzieren! Alles andere sind nur Spezialfälle!
Das Wort "Aufleiten" kommt zwar von der Analogie zum "Ableiten", aber Physiker und Wissenschaftler reden meist von Integrieren und Differenzieren.