Warum gibt die Stammfunktion den Flächeninhalt der Funktion wieder?
Also zum Beispiel der Punkt (1/5). Wo ist die Steigung 5=> im Punkt (1/2,5). Warum ist der Flächeninhalt von 0-1 2,5?
1 Antwort
Das ist nicht in einem oder zwei Sätzen gesagt, aber an einem Beispiel kannst Du das vielleicht erkennen.
Nehmen wir die Reihe der natürlichen Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., n. Das ist die Funktion f(x) = x.
Aufsummiert sind das: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ..., n • (n+1) / 2
Wenn Du nun nur eine Teilmenge nimmst, beispiel ab 4, dann musst du die unteren von der Formel wieder abziehen. Also F(n) - F(3). Damit ziehst du f(1) + f(2) + f(3) wieder ab.
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Als nächstes machst Du das mit der Funktion f(x) = x². Dann hast du wieder die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., n
Aufsummiert sind das: 1, 5, 14, 30, 55, 81, 130, ...
Nun musst du dir dazu noch die Summenformel erarbeiten. Das geht mit 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten: F(1) = 1, F(2) = 5, F(3) = 14 mit F(x) = a • x² + b • x + c. Wenn Du mit x³ ausprobierst, wirst du feststellen, dass kein x³ benötigt wird.
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Beim Integrieren brauchst du dann nach den Zahlenraum R statt N und unendlich kleine Breiten von Werten. Aber das war ja nicht gefragt.