Warum ist der Ursprung kein Fixpunkt?
Ich habe eine Aufgabe, in der folgende Abbildung steht:
φ: ℝ^2 → ℝ^2
Eine Fläche wird um 90° mathematisch positiv um den Punkt [1,0] gedreht. (Ich stelle Vektoren in der Form [x,y] dar)
Die erste Frage der Aufgabe ist, ob es sich um eine lineare Transformation handelt. In der Lösung steht, dass es keine lineare Transformation sein kann, da der Ursprung kein Fixpunkt ist.
Ich habe bereits herausgefunden, wie man die Matrix berechnet, die für eine mathematisch positive 90°-Rotation nötig ist.
Matrix:
[cos(90°) -sin(90°)]
[sin(90°) cos(90°)]
Ergebnis:
[0 -1]
[1 0]
Wenn ich diese Matrix mit [0,0] multipliziere, erhalte ich wieder [0,0], was den Ursprung eigentlich zu einem Fixpunkt macht. Wieso wird er in der Lösung der Ursprung dann nicht als Fixpunkt bezeichnet? Oder verstehe ich das falsch und [0,0] ist nicht der Ursprung, sondern [1,0]? Bei [1,0] würde es Sinn ergeben, aber dann wäre die Frage, wieso [1,0] der Ursprung sein soll?
2 Antworten
Die Matrix, die du berechnet hast, beschreibt eine Drehung um den Ursprung (deswegen ist (0, 0) auch ein Fixpunkt).
Bei der Drehung in der Aufgabe ist - wie dir schon in den Sinn kam - nur (1, 0) ein Fixpunkt.
Tatsächlich ist die beschriebene Abbildung keine lineare und du findest daher auch keine Darstellungsmatrix zu dieser.
Allerdings ist es fast eine lineare Abbildung. Würdest du erst alle Punkte einer Translation (Verschiebung) um (–1, 0) (also um eine Einheit nach links) unterziehen und dann die Matrix, die du angegeben hast, und dann wieder die Translation um (1, 0) anwenden, ist deine Abbildung φ vollständig beschrieben.
(1, 0) + ((0, 1), (–1, 0)) ((x, y) + (–1, 0))
= (1, –1) + ((0, 1), (–1, 0)) (x, y)
Zusatz:
Das können wir auch mit erweiterten Koordinaten und so tatsächlich als lineare Abbildung darstellen:
((1, 1, –1), (0, 0, 1), (0, –1, 0)) (1, x, y)
Beispiele:
φ(0, 0) = (1, –1)
((1, 1, –1), (0, 0, 1), (0, –1, 0)) (1, 0, 0)
= (1, 1, –1)
φ(–2, 0) = (1, –3)
((1, 1, –1), (0, 0, 1), (0, –1, 0)) (1, –2, 0)
= (0, 1, –1) + (0, 0, –2) = (1, 1, –3)
Nene, (1, 0) ist kein Fixpunkt deiner Drehungsmatrix (der wäre (0, 0)). (1 0) ist Fixpunkt der Abbildung φ (und deine Matrix beschreibt nicht diese Abbildung).
Deine Matrix beschreibt eine Rotation von 90° um den Ursprung, nicht um den Punkt [1, 0]. Weil φ keine lineare Abbildung ist, wirst du auch keine passende Abbildungsmatrix finden.
Wenn du φ([0, 0]) ausführst, erhälst du den Vektor [1, -1].
Tut mir leid, ich raff immer noch nichts. Die berechnete Matrix kann also nicht auf andere Punkte als [0,0] angewandt werden? Ich dachte, mit dieser Matrix kann ich grundsätzlich alle Punkte um 90° drehen.
Wenn ich φ([0, 0]), sollte doch wieder [0,0] rauskommen? Denn die Matrix * [0,0] = [0,0]
Die Matrix kann jeden Vektor drehen, jedoch nur um das Drehzentrum [0, 0]. Das Drehzentrum soll nun aber [1, 0] sein, und das ist eine völlig andere Abbildung als die, welche deine Matrix beschreibt.
Lineare Transformationen erlauben nur Drehungen um den Ursprung, nicht um beliebige Punkte im Raum.
Zur Veranschaulichung; Zeichnet man um den Punkt [1, 0] einen Einheitskreis, so befindet sich der Ursprung [0, 0] auf diesem auf 9 Uhr. Nach der Drehung dann auf 6 Uhr, also [1, -1], da er sich wie ein Zeiger eine viertel Drehung um den Mitittelpunkt bewegt. Bei deiner Matrix wäre [0, 0] selbst der Mittelpunkt und würde sich gar nicht bewegen.
Tut mir leid, ich versteh's immer noch nicht. Es kam mir ehrlich gesagt nicht in den Sinn, dass [1,0] ein Fixpunkt ist. Ich habe nur vermutet, dass mit dem Wort Ursprung [1,0] gemeint sein könnte, da die Matrix * [0,0] = [0,0] ergibt.