Warum die Nullstellen bei der Delta Distribution?

Hallo!

Bei der Delta-Distribution für eine Testfunktion wird diese über die Summe der inversen Beträge der Ableitung der Testfunktion an den Nullstellen bestimmt. Aber wozu hier die Nullstellen der Testfunktion? Was für eine Funktion muss ich mir hier vorstellen? Zum Beispiel eine Sinuskurve? Aber was soll ich da mit den Nullstellen? Warum verwendet ich die Nullstellen der Testfunktion und nicht von der Ableitung der Testfunktion?

Die Distribution mit Latex formuliert:

\delta(g(x))= \sum_{n} \frac{1}{|g'(x_n)|} \delta(x-x_n)

Ich habe schon viel gesucht und es wird immer von den Nullstellen gesprochen, aber nicht warum? Kann mir jemand dies beantworten? Ich wäre sehr dankbar.

Mit freundlichen Grüßen

21.04.2024, 22:04

Siehe auch hier ab Seite 26:

https://www.physik.uni-jena.de/pafmedia/institute/arbeitsgruppe-physik-und-astronomiedidaktik/studium-und-lehre/materialtheke/skripte/mathematische-methoden-der-physik-ii.pdf

1 Antwort

Kelec

21.04.2024, 21:37

Ich weiß jetzt zwar nicht ganz was du meinst aber due Deltadistribution angewendet auf eine Testfunktion liefert den Wert f(0).

Ich würde den Begriff Nullstelle also hier nicht als y=0 sondern als x=0 verstehen.

Angewendet auf den Sinus als Funktion f liefert die Distribution sin(0)=0

HalloHalloHa126

Fragesteller

21.04.2024, 21:43

Ich meine: Latex: \delta(g(x))= \sum_{n} \frac{1}{|g'(x_n)|} \delta(x-x_n) . Das ist was ich meine. Warum verwendet ich die Nullstellen der Testfunktion x_n?

Der Zusammenhang \int \delta(x-x_0)f(x)= f(x_0) ist mir bewusst. Gewiss meint Nullstelle x=0, aber warum die Nullstelle?

Hallo! Ich habe da eine Aufgabe aufbekommen und wollte wissen, ob ich die Aufgabe korrekt gelöst habe bzw. wo der Fehler liegt, da mir das Ergebnis zu klein vorkommt.

Die Aufgabe:

"Eine Schraubfeder wird durch die Kraft F = 0,6 N um s = 3,5 cm gedehnt. Berechnen Sie die Energie, um die Feder weitere 7 cm zu dehnen."

Meine Rechnung:

in latex: (oder siehe Anhang)

\begin{align*}
\text{gegeben:}\\
F &= 0,6 ~ \mathrm{N}\\
s_{1} &= 3,5 ~ \mathrm{cm}\\
s_{2} &= (3,5 + 7) ~ \mathrm{cm} = 10,5 ~ \mathrm{cm}\\
\\
\text{gesucht:}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &\text{ in } \mathrm{J}\\
\\
\text{Rechnung:}\\
\text{hookesche Gesetz:} \quad F &=D \cdot \Delta s \quad\mid\quad \div(\Delta s)\\
D &= \frac{F}{\Delta s}\\
D &= \frac{0,6 ~ \mathrm{N}}{s_{2} - s_{1}}\\
D &= \frac{0,6 ~ \mathrm{N}}{10,5 ~ \mathrm{cm} - 3,5 ~ \mathrm{cm}}\\
D &= \frac{0,6 ~ \mathrm{N}}{7 ~ \mathrm{cm}}\\
D &= \frac{0,6 ~ \mathrm{N}}{0,07 ~ \mathrm{m}}\\
D &= \frac{0,6}{0,07} ~ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\\
D &= 8,57... ~ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= E_{pot, ~ s_{2}} - E_{pot, ~ s_{1}}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{D \cdot s_{2}^{2}}{2} - \frac{D \cdot s_{1}^{2}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{D \cdot s_{2}^{2} - D \cdot s_{1}^{2}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{D \cdot (s_{2}^{2} - s_{1}^{2})}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{8,57... ~ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \cdot (10,5^{2} ~ \mathrm{cm}^{2} - 7,5^{2} ~ \mathrm{cm}^{2})}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{8,57... ~ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \cdot 54 ~ \mathrm{cm}^{2}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{8,57... ~ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \cdot 0,0054 ~ \mathrm{m}^{2}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{8,57... \cdot 0,0054 ~ \frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{m}}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= \frac{8,57... \cdot 0,0054 ~ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}}{2}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= 0,02... ~ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}\\
\Delta_{2} E_{\text{pot}} &= 0,02... ~ \mathrm{J}\\
\end{align*}

(es lässt mich gerade nicht die Bilder zu den Formeln senden, deswegen nur der Latex-Ausdruck (die Bilder ergänze ich noch))

Kommentar:

Die 0,02 Joule als Lösung klingen für mich viel zu klein... Habe ich einen Fehler gemacht? Wenn ja, wo ist der Fehler?

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Jetzt soll man folgenden Schluss ziehen:

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Oder geht es bei dem Zeug davor einfach nur darum, wie lang der Vektor ist?

Also bei dem 2. dann w^2r, weil das die Länge eines normalen Beschleunigungsvektors ist, oder?

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