Wahrscheinlichkeit berechnen?
Hi!
Ich habe eine Frage zu einer Stochastikaufgabe.
Ein Würfel wird n-mal geworfen. A ist das Ereignis, dass keine 6 geworfen wird und B das, dass keine 5 geworfen wird.
Ich soll nun die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Poincare-Sylvester berechnen. Es geht um die Wahrscheinlichkeiten
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Danke im Voraus!
Ich hätte als Idee jetzt
- P(A u B)= (5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n
- P(A n B)=(5/6)^n+(5/6)^n-?
- P(A^c u B^c)=(1/6)^n+(1/6)^n-(2/6)^n
- P(A^c n B^c)=(1/6)^n+(1/6)^n-?
Ist das richtig und wenn ja, was ist das ? jeweils?
2 Antworten
P(A ∪ B) = P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
n=1:
P(A ∪ B)=5/6 + 5/6 - P(keine 6 und keine 5) =
5/6 + 5/6 - P(1 oder 2 oder 3 oder 4) =
5/6 + 5/6 - 4/6 = 1
Stimmt, wenn ich nur einmal würfel, tritt immer der Fall ein, dass ich keine 6 ODER keine 5 würfel (ODER: die Disjunktions ist wahr, wenn mindestens ein Wert wahr ist)
n=2:
P(A ∪ B) = (5/6)² + (5/6)² - (4/6)² = 17/18
Stimmt, denn bei 2 mal Würfeln hat man folgende Fälle (1,1), (1,2) ......(5,5), (6,6), das sind 6 * 6 = 36 Fälle, für das Ereignis (A ∪ B) fallen die Fälle (5,6) und (6,5) weg, somit haben wir für das Ereignis (A ∪ B) 34 günstige Fälle von insgesamt 36 möglichen Fällen, also P(A ∪ B) = 34/36 = 17/18
n=3:
P(A ∪ B) = (5/6)³ + (5/6)³ - (4/6)³ = 31/36
6 * 6 * 6 = 216 mögliche Fälle
31/36 = 186 /216
für das Ereignis (A ∪ B) fallen also 216 - 186 = 30 Fälle weg
also Fälle wie (1,5,6), (2,5,6)..... (6,5,6), (1,6,5), (2,6,5), ...fallen weg
also alle Fälle mit 5 und 6 fallen weg, das sollten 30 Fälle sein
n=n:
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P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
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Noch Fragen?
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Warum 1 ^ n ?
Das Ergebnis P(A ∪ B) = (5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n gilt ja für alle n also auch für n=1
für n=1: P(A ∪ B) = (5/6)^1 + (5/6)^1 - (4/6)^1 = (5/6) + (5/6) - (4/6) = 1
Und kannst du mir vlt noch aufschreiben, wie ich die anderen 3 berechne? :)
Mal sehen, wann ich Zeit hab.
Ist aber total nett von Mauritan, das mit dir gemeinsam zu erarbeiten
Aber wenn ich (5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n zsmrechne kommt doch 1^n raus
a^n + b^n - c^n ist im Allgemeinen nicht (a+b-c)^n
nur hier wenn (a+b-c) = 1 dann kann man natürlich statt 1 auch 1^ n schreiben, das ist nicht falsch, aber ich sehe jetzt nicht, dass das etwas zur Erläuterung des Ergebnisses beiträgt
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ist diese Aufgabe eigentlich für Schule oder Uni?
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für den 1. Punkt der Aufgabe: (A ∪ B) lautet das Ergebnis
P(A ∪ B) = (5/6)^n + (5/6)^n - (4/6)^n
Wenn man will, kann man das noch ein wenig zusammenfassen:
P(A ∪ B) = 2*(5/6)^n - (2/3)^n
Aber die Aufgabe war ja "berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit" das hatte mich verwundert.. Kannst du mal kurz sagen, ob der Rest richtig ist, wenn ich es schreib?
Das ist ja die Wahrscheinlichkeit In Abhängigkeit von n
wobei n die Anzahl der Würfe des Würfels ist
du kannst jetzt zu für n eine beliebige ganze Zahl größer als 0 einsetzen und erhälst die entsprechende Wahrscheinlichkeit als Zahlenwert
Ah ok verstehe. Kann ich den Rest schreiben?
Ich muss jetzt weg, du kannst es aber gerne schreiben, vielleicht komme ich später dazu
wenn es zu lange dauert und du sonst nicht weiter kommst, gibt es auch die Möglichkeit, die Frage nochmal einzustellen - rechts oben die 3 Punkte - dabei vielleicht ergänzen, wo du noch Fragen hast
P(A u B)= (5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n
P(A n B)=(5/6)^n+(5/6)^n-?
P(A^c u B^c)=(1/6)^n+(1/6)^n-(2/6)^n
P(A^c n B^c)=(1/6)^n+(1/6)^n-?
P(A^c u B^c)=(1/6)^n+(1/6)^n-(2/6)^n kann nicht stimmen, wird negativ bei b=2
also:
2) P(A n B): Wir haben ja schon die Formel P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) berechnet, dort war P(A ∩ B) = (4/6)^n
3) mit den De-Morganschen Gesetzen folgt: (A^c u B^c) = (A ∩ B)^c
P(A ∩ B)^c = 1 - P(A ∩ B) und P(A ∩ B) haben wir ja bereits berechnet, das ist (4/6)^n
4) mit De-Morganschem Gesetz: (A^c ∩ B^c) = (A ∪ B)^c
P (A ∪ B)^c = 1 - P(A ∪ B) und P(A ∪ B) haben wir ja bereits ganz am Anfang berechnet
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Ich soll nun die Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Formel von Poincare-Sylvester berechnen.
Mir ist eben nicht ganz klar, ob gemeint ist, dass man jeden Punkt mit dieser Formel berechnen soll, denn das ist meiner Meinung nach recht kompliziert, wie du siehst, geht es mit den De-Morganschen Gesetzen sehr einfach
z.B. (A^c u B^c) bedeutet mindestens eine 5 oder mindestens eine 6
Überlege mal: mindestens eine 5 bei 2 mal Würfeln zum Beispiel:
P(A^c) = 1/6 * 5/6 + 1/6 * 5/6 + 1/6 * 1/6 wenn ich mich nicht irre :)
Komme immernoch nicht ganz weiter.. Wie kommen wir auf P(A n B)?
Ist P(A n B)^c dann (3^n-2^n/3^n)?
Wie kommen wir auf P(A n B)?
Hab ich ganz oben bei n = 1 bereits ein wenig erläutert:
P(A n B) = P(keine 6 und keine 5) = P(1 oder 2 oder 3 oder 4) =
P(1) + P(2)+ P(3)+ P(4) = 1/6 +1/6 +1/6 +1/6 = 4/6
bei n mal würfeln: P(A n B) = (4/6)^n
Ist P(A n B)^c dann (3^n-2^n/3^n)?
nicht ganz
P(A ∩ B)^c = 1 - P(A ∩ B) =1 - (4/6)^n
kann man auch schreiben: 1 - (4/6)^n = 1 - 2^n / 3^n
kann man auch schreiben 1 - 2^n / 3^n = 3^n / 3^n - 2^n / 3^n = (3^n - 2^n) / 3^n
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wie man sieht ist es, oft günstig über das Gegenereignis zu rechnen
wenn man unbedingt immer die Form
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
bzw.
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
haben möchte, kann man sich diese auch zusammensetzen:
z.B. bei 2)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
Wir haben bei 1) ja bereits berechnet:
P(A) = (5/6)^n
P(B) = (5/6)^n
P(A ∪ B) = (5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n
wenn wir diese Ergebnisse nun einsetzen erhalten wir:
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B) =
(5/6)^n + (5/6)^n - [(5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n]
Und somit bleibt die Form der Formel von Poincare-Sylvester erhalten
Wenn man das ausrechnet, kommt man natürlich wie gehabt auf
P(A ∩ B) = (4/6)^n
oder z.B. 3)
P(A^c ∪ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c ∩ B^c).... Formel von Poincare-Sylvester
A^c .... mindestens eine 5
B^c .... mindestens eine 6
P(A^c) .... Ist kompliziert zu berechnen, aber leicht über das Gegenereignis:
P(A^c) = 1 - P(A)
P(A) haben wir ja bereits bei 1) berechnet, also:
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - (5/6)^n
genauso:
P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - (5/6)^n
Nun noch:
P(A^c ∩ B^c) = P(A ∪ B)^c = 1 - P(A ∪ B) = 1 - [(5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n]
somit:
P(A^c ∪ B^c) = P(A^c) + P(B^c) - P(A^c ∩ B^c) =
[1 - (5/6)^n] + [1 - (5/6)^n] - [1 - [(5/6)^n+(5/6)^n-(4/6)^n]]
somit bleibt die Form der Formel von Poincare-Sylvester erhalten
Wenn man das ausrechnet erhält man natürlich wie gehabt:
P(A^c ∪ B^c) = 1 - P(A ∩ B) = 1 - (4/6)^n
Ja gerne
weiß natürlich nicht, ob ich es beantworten kann
und wann ich Zeit hab, falls es komplizierter ist
Ist P(A n B)^c dann (3^n-2^n/3^n)?
vielleicht meinst du das Richtige:
P(A n B)^c = (3^n-2^n)/3^n
Guck mal hier, danach hast Du es verstanden.
Scroll runter. Und Würfel Rechnungen haben sie auch viele:
Unter welchem Punkt? Können wir es evtl trd zsm berechnen?
Würfel heißt auf englisch "dice".
Du kannst auch unter "dropping a coin" nachlesen.
Jetzt findest Du es?
Beginne stets damit, alle Möglichkeiten zu listen, die bei einem Ereignis eintreten können. Welche davon sind es bei Dir?
(Bei was soll man genau gucken? Nenn mal die Überschrift oder den entsprechenden Link der Linksammlung.)
Ok, danke, hast du schon beantwortet
Kennst du dich mit dem Thema aus und kannst etvl helfen?
So halb. Das reicht aber nicht um eine qualifizierte Antwort zu schreiben.
Dann beginne mal mit diesem meinem Satz von oben:
"Beginne stets damit, alle Möglichkeiten zu listen, die bei einem Ereignis eintreten können. Welche davon sind es bei Dir?"
ah, dort oben.
Doch leider stimmt es so nicht. Bloß weil Du RECHNEN sollst, dass keine 5 oder 6 kommt, heißt das nicht, dass sie nicht kommt.
Bessere also bitte aus, welche Fälle eintreffen können.
Gut, so passt es!
Bitte schreibe es systematisch auf (Du sollst ja auch Rechengänge lernen)
Und dann schreibe auf, welche Fälle des Eintretens Du rechnen willst und welche des Nicht-Eintretens.
Vielleicht kommst Du dann schon mit dem Link zurecht.
Kannst Du gerne, doch diese Aufgaben bitte weiterhin hier.
Es geht ja darum, dass auch andere etwas davon haben. Es ist eine recht typische Aufgabe, die sicherlich viele lösen müssen.
Wenn ich offline bin, können Dir dann zudem noch andere die Antwort sagen.
schon, schon, doch bitte in Zahlen ausgedrückt, wie Du das oben für "alle möglichen Ereignisse" getan hast.
bingo!
Jetzt hast Du noch diese Formel in der Angabe, was sagt sie und was bringt sie Dir hier?
Hol' sie Dir doch mal aus Deinen Unterlagen und poste hier.
P(A u B)=P(A)+P(B)-P(A ^ B) wenn ich es richtig in Erinnerung hab
Ich habe das gar nicht in Erinnerung, sondern rechne gerne drauf los. Daher müssen wir es gemeinsam suchen. (komme aus der Praxis, nicht aus dem Unterricht).
Gehe ich recht in der Annahme, dass P für Propability steht?
Wenn ja, welche Werte sind einzusetzen?
1/6 + 1/6
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist immer 1.
Jede Augenzahl für sich genommen ist 1/6.
Alle 6 Augenzahlen sind 6 * 1/6, also 6/6 = 1.
Daher ist die Wahrscheinlichtkeit für 2 Augenzahlen zur Wahl: 1/6 + 1/ 6 = 2/6.
Es ist nicht so kompliziet, wie die Formel aussieht.
Was passiert denn, wenn Du A und B in Deine Formel einsetzt?
das wären 10/6, ist also falsch, weil > 1
Stimmt die Formel sicher oder haben wir einen Fehler beim Einsetzen gemacht?
Wenn Dir das nicht hilft, suchen wir morgen weiter:
https://mathepedia.de/Wahrscheinlichkeitstheorie.html
Sorry, für heute bin ich müde und verstehe es selbst nicht mehr genau. Ich höre dann auf, weil es am nächsten Tag besser geht.
P(A u B)=P(A)+P(B)-P(A n B)
P(A u B)=5/6 + 5/6 - P(keine 6 und keine 5) =
5/6 + 5/6 - P(1 oder 2 oder 3 oder 4) =
5/6 + 5/6 - 4/6 = 1
Stimmt, wenn ich nur einmal würfel, tritt immer der Fall ein, dass ich keine 6 oder keine 5 würfel
Ein Würfel wird n-mal geworfen.
Meinst du wirklich n-mal geworfen oder hast du dich geirrt und es soll heißen 1 mal geworfen
nein n-mal, also ist ja auch (5/6)^n glaub ich
bin wieder da, doch muss noch mein Tagwerk tun, dann mehr in GF.
Hoch n klingt sehr gut. Gesamt 1 auch.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird erst "gefeiert", seit man Computer hat. Weil sie so extreme Rechnungen und Potenzierungen erfordert.
Hast Du schon das Ergebnis oder sollen wir Nachmittag weiterrechnen?
Es sollte ja 4/6 rauskommen, so wie es aussieht. Denn wenn wir eine Zahl "suchen", ist es 1/6. Und wir "suchen" hier 4, sollte daher 4/6 sein fürs Beispiel 2.
Welche Frage der 4 oben rechnest Du?
also ich vermute, unsere Rechnung lautet: 10/6 - 6/6 = 4/6
https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Diskrete_Mathematik_(Osnabr%C3%BCck_2020)/Vorlesung_3
Ich komme insgesamt auf komische Ergebnisse glaub ich
Ich habe wohl einiges in Stochastik gerechnet, doch von der Schule bin ich weit, weit weg. Bei mir macht das der Computer und Mathe-Units, die mir die Codes in meinen Source spielen.
Was Schule und zu Fuss rechnen betrifft, musst Du mir helfen: Daher diese Bögen: Das sind Vereinigungsmenden und Schnittmengen, wenn ich nicht irre?
Was ist das kleine c?
Grundsätzlich gilt das hier:
https://www.mathsisfun.com/data/probability.html
Wahrscheinlichkeit = Eintrittsfälle / insgesamt mögliche Fälle
Daher also 1/6 je Augenzahl.
In der Wahrscheinlichkeit ist es oft mit Potenzen nicht getan. Da brauchen wir die Faktultät: also 4! = 1 * 2 * 3 * 4
https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_(Mathematik)
Wofür also steht dieses kleine c in der Angabe?
Was? welches kleine c und wieso Fakultät? Das hatten wir in der Vorlesung noch nicht..
ach das meinst du, das bedeutet das gegenereignis
Dann haben wir alles: Wenn eine Augenzahl 1/6 ist, sind deren 2 (also 5 oder 6): 2/6.
Das Gegenereignis eben 5/6 und 4/6.
Die Zuordnung der Antworten bitte von Dir. Also was jetzt ist "5" und "5 nicht" je Frage usw.
Also bei P(AnB) hab ich (4/6)^n raus, bei P(AuB) 1^n bei P(AuB)mit c 0^n und beim letzten (2/6)^n
Das verwirrt mich jetzt vom Scrollen her und von den Zeichen.
Ist das beim 1. dann nicht =1^n? Und kannst du mir vlt noch aufschreiben, wie ich die anderen 3 berechne? :)