Vektorrechnung: Bestimmung von Winkel?

Hallo, wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen. Leider habe ich wenig Plan davon......vielleicht hat sie auch jemand schon einmal gerechnet...

Auf dem Marktplatz im Zentrum einer Stadt steht ein quadratische Pyramide mit 6m Seitenlänge und 7m Höhe. Anlässlich des Stadtjubiläums soll auf einer Seitenfläche eine quadratische Gedenktafel angebracht werden, die einer Seitenlänge von 1m hat.

a) Wie steil sind die Seitenflächen der Pyramide, unter welchem Winkel stoßen benachbarte Seitenflächen zusammen?

b) Es gibt Überlegungen, ob man zur Befestigung der Gedenktafel mit einem Bohrloch auskommen kann, wenn man senkrecht zur Seitenfläche so bohrt, dass der Bohrrichtung auf dem Mittelpunkt der der gegenüberliegenden Grundkante zielt.. Wählen sie einer der vier Seitenflächen aus und bestimmen Sie auf ihr die Lage des geplanten Bohrlochs. Beschreiben sie die Lage des Bohrlochs auf der Seitenfläche unabhängig von der gewählten Seitenfläche möglichst genau.

Vielen lieben Dank im Voraus

Answer 1

[ProfFrink]

Schaut man sich die Pyramide aus der Seitenperspektive an, dann kann man die Steilheit realtiv leicht mit der Tangensfunktion ermitteln.

$\alpha=\arctan\left(\frac{7}{3}\right)=66,8°$

Schwieriger wird es schon mit dem Winkel der Seitenflächen zueinander. Hier hilft der Normalenwinkel n1 an der dargestellten Seitenfläche mit seinen beiden Komponeten in x- und in z-Richtung. Das gleiche kann man mit der angrenzenden Seitenfläche machen. Dieser Normalenvektor hat eine y- und z-Komponente; jedoch keine x-Komponenten. Über das Skalarprodukt kann man den eingeschlossenen Winkel bestimmen.

Man muss sich jedoch veranschaulichen, dass nicht der Winkel gamma der gesuchte Winkel ist, sondern der Komplementärwinkel zu 180°. Ein einfaches Papiermodell, das man sich basteln sollte, macht diesen Zusammenhang schnell klar und zeigt, dass alle Pyramiden immer Winkeleinschlüssen im Bereich von 90° bis 180° zu ihren Seitenwänden erreichen.

Letzlich kommt man zu folgender Formel zur Berechnung des Winkels zur Nachbarwand.

$\beta=180°-\arccos\left(\cos^2\alpha\right)=98,9°$

Zur Berechnung der Bohrlochgeometrie mache man folgende Skizze

Es gilt

$s=6\cdot\cos\alpha$

Es gilt

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Volleyball69]

Vielen...vielen...Dank für deine Antwort. Sie war super hilfreich....